高考广东文科数学模拟试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于第四象限,则实数m的取值范围是（ ）

A.(0,1) B.(1,2) C.(■,1) D.(■,1)

2. 已知集合Ａ=x｜y=■，B=x｜y=■，则Ａ∩B=（ ）

A.(■,1) B.(1,5) C.(5,+∞) D.(1,+∞)

3. 在某次测验中，有6位同学的总成绩的平均为501分．用xn表示编号为n(n=1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

则这6位同学总成绩的标准差s为（ ）

A. ■ B. 4 C. 15 D. 2

4. 已知■=3，■=4，且■与■不共线，则“k=■”是“向量■+k■与■-k■垂直”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，q≠1，a２,a8,a5成等差数列，则下列哪三项成等差数列（ ）

A. S２,S8,S5 B. S3,S9,S6 C. S4,S9,S5 D. S3,S8,S5

6. 已知几何体的三视图，则此几何体的表面积（ ）

Ａ． ■ Ｂ． ■

Ｃ． ■ Ｄ． ■

7. 定义在[-2，2]上的函数f(x)满足f′(x)=2x+sinx，且f(0)=-1，若f(1-m)-f(m)

A. [-2,-■) B. (-2,-■]

C. (■,2] D.[■,2)

8. 已知平面区域?赘={(x,y)｜(x-1)2+(y-1)2≤1}，平面区域M=(x,y)｜1≤x+y≤3,-1≤x-y≤1,，若向区域?赘内随机抛掷一点P,则点P落在平面区域M内的概率为（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

9. 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%的所需费用（单位：元）为c(x)=■(80

A. 84 B. 88 C. 90 D. 95

10. 已知双曲线■-■=1的离心率为■，它的两个焦点为F1,F2，P为双曲线右支上一点，且∠F1PF2=60°，F1PF2的面积为9■，则双曲线的方程为（ ）

A. ■-■=1 B. ■-■=1

C. ■-■=1 D. ■-■=1

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.

(一）11-13为必做题

11. 某多媒体电子白板的采购商指导价为每台12000元，若一次采购数量达到一定量，则可以享受折扣. 图1为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，若输出的S=864000元，则这位采购商一次

采购了该电子白板

台.

12. 已知关于x的方程a(x+1)2=x+7(a∈N*)至少有一个整数解，则a的最大值为 .

13. 对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：

22=1+3 32=1+3+5

42=1+3+5+7,

23=3+5 33=7+9+11

43=13+15+17+19

根据上述分解规律，则52=1+3+5+7+9，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，则m的值为 .

（二）选做题（从以下两道题中选做一题，两题都做的以第一题的结果记分）

14.（几何证明选讲选做题）如图2所示，割线PAB与圆O相交于A,B两点，PC为圆O的切线，圆O的半径为10，D为■弧的中点，OD交AB于点E，如果PA=4，sin∠PBO=■，则PC的长度为 .

15.（坐标系与参数方程选做题）曲线C1:x=t，y=t-1（t∈R）与曲线C2:x=1+2cos?兹，y=2sin?兹（0≤?兹

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（12分）第110届广交会第二期于2011年10月23日至27日在广州举行，某大学外语学院拟选拔4名志愿者参加接待工作，经过初步选定， 4名男同学，2名女同学共6名同学成为候选人，每位侯选人当选志愿者的机会是相同的.

(1)求选拔的4名志愿者中恰有1名女同学的概率；

(2)求选拔的4名志愿者中至少有3名男同学的概率.

17 （12分）已知函数f(x)=sin(x+?渍)(■

（1）求f(x)的解析式与最小正周期；

（2）已知?琢，?茁∈0,■，且f(?琢)＝■，f(?茁)＝■，求f(2?琢-?茁)的值．

18.（14分）如图3，AB是圆O的直径，点C是圆弧■的三等分点，DB∥EA，点F是AO的中点，AC=

AE=■BD=2，DC=2■，DF=5，

（1）证明：DE平面CFE；

（2）求多面体ACBDE的体积.

19.（14分）已知正项数列{an}的前n项和Sn满足4Sn=2an+a2n(n∈N*).

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=lnan，是否存在k(k≥2,k∈N*)，使得bk、bk+1、bk+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．

20（14分）已知抛物线y2=2px经过点M(2,-2■)，斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F且与抛物线相交于A,B两点，椭圆■+■=1的右焦点恰为抛物线的焦点，离心率为■.

（1）试求抛物线与椭圆的方程；

（2）求出AB的值；

（3）若P(x,y)为椭圆上一个动点，N为左顶点，求■・■的最值.

21. （14分）设函数f(x)=ex(x2-ax+1)(a>0)，

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f（x）≥（a2-■a+■）ea-1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. m(3+i)-(2+i)=3m+mi-2-i=(3m-2)+(m-2)i，因为复数对应的点在第四象限，则有3m-2>0，m-1

2. 根据x-4≥0，x-5≠0，得4≤x5，即A=[4,5)∪(5,+∞)；根据3x-2>0，3x-2≠1，解得■

3. x6=6×501-(495+498+501+504+501)=507，故s=■=■，选A.

4. 向量■+k■与■-k■垂直的充要条件是（■+k■）（■-k■）=0，即■-k2 ■=0，因为■=9,■=16，故9-16k2=0，故k=±■，所以“k=■”是“向量■+k■与■-k■垂直”的充分不必要条件，选A.

5. 方法一：设首项为a1，因为a2,a8,a5成等差数列，则2a8=a2+a5，得到2a1q7=a1q+a1q4，得到2a1-2a1q9=a1-a1q3+a1-a1q6，即■=■+■，得到2S9=S3+S6，选B.

方法二、设首项为a1，因为a2,a8,a5成等差数列，则2a8=a2+a5，得到2a1q7=a1q+a1q4，得到2q6-q3-1=0，解得q3=－■，q3=1（舍去），因为2S9=■=■=■×■，S3+S6=■+■=■+■=■×■，故2S9=S3+S6，选B.

6. 如图4，这个几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以S表＝■×４?仔×（■）２＋?仔（■）２＋２×■×１×１+■×■×■×sin600=■+1＋■＝■，选C.

7. 由题意可得f（x）＝x2-cosx，因为f（-x）=x2-cosx=f（x），所以函数f（x）在[-2，２]上是偶函数，且在[０，２]上单调递增，在[-2，０]上单调递减，依题意可得０≤1-m≤2，0≤m≤2，1-m

8. 如图5，画出区域?赘与区域Ｍ，则区域?赘是以（１，１）为圆心，半径为１的圆，其面积为?仔，区域M是边长为■的正方形，其面积为■×■=2，故所求的概率为■，选B.

9. c′（x）=■，■＝１３２１，解得k=5284，再由■=52.84，解得a=90，选C.

10. 不妨设PF1=r1，PF2=r2，r1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.

11. 依题意可得S=Q・0.85・x， x>100Q・0.9・x， 60

12. 依题意可得a=■≥1，且（x≠-1），得到x2+x-6≤0，解得-3≤x≤2，又x为整数，则有x=-3，－２，０，１，２，当x=0时，a=7；当x=1时，a=4；当x=2时，a=3；当x=-2时，a=5；当x=-3时，a=1，经比较可得a的最大值为7.

13. 根据23=3+5，３３=7+9+11，４３=13+15+17+19，从２３起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2-m+1，m3（m∈N*）的分解中最小的数是73，m2-m+1=73，m=9，故答案为9．

14. 因为D为弧■的中点，所以OEAB，且点E平分线段AB，所以EB=■，在RtOEB中，圆O的半径为10，sin∠PBO=■，所以■=sin∠PBO=■，解得OE=8，故EB=■=6，得到EB=12，由切割线定理可得PC2=4×（４＋ＡＢ），PC2=4×（４＋１２）＝６４，解得ＰＣ＝８.

15. 化曲线C1：x=t，y=t-1为普通方程得y=x-1，化C1：x=1+2cosθ，y=2sinθ为普通方程得（x-1）2+y2=4，y>0，故y2＝２解得y＝■或y＝－■

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 解：将4名男同学和2名女同学分别编号为1，2，3，4，5，6，（其中1，2，3，4是男同学，5，6是女同学），从该学院6名同学中选拔4名的总结果数有（1，2，3，4），（1，2，3，5），（1，2，3，6），（1，2，4，5），（1，2，4，6），（1，2，5，6），（1，3，4，5），（1，3，4，6），（1，3，5，6），（1，4，5，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6），（2，3，5，6），（2，4，5，6），（3，4，5，6）共15种，选拔的4名志愿者中恰有1名女同学的结果数有（1，2，3，5），（1，2，4，5），（1，3，4，5），（1，2，3，6），（1，2，4，6），（1，3，4，6），（2，3，4，5），（2，3，4，6）共8种，

故选拔的4名志愿者中恰有1名女同学的概率为P（A）=■.

（2）求选拔的4名志愿者中至少有3名男同学包括3名男同学，1名女同学，4名男同学这二种情况，有4名男同学只有（1，2，3，4）1种，即其概率为P（A）=■，

4名志愿者中恰有1名女同学的概率为P（B）=■，

故选拔的4名志愿者中至少有3名男同学的概率为P=■+■=■=■.

17 解：（1）将点M（■，■）代入得sin（■+?渍）=■， 因为，■

（2）依题意有cos?琢=■，cos?茁=■，而?琢，?茁∈（0，■），sin?琢=■=■，sin?茁=■=■，故sin2?琢=■，cos2?琢=cos2?琢-sin2?琢=■-■=-■，故f（2?琢-?茁）=cos（2?琢-?茁）=cos2?琢cos?茁+sin2?琢sin?茁=-■×■+■×■=■.

18解：（1）连结CO，过E作EGBD，垂足为G，点C是圆弧■的三等分点，∠AOC=60°，

AOC是等边三角形.

又点F是AO的中点，故AC=AO=2，CF=■.

AB是圆O的直径，∠ACB=90°，

BC=2■.

因为BC2+BD2=42+（2■）2=28=CD2=（2■）2，CBD是直角三角形，即DBBC.

因为BF2+BD2=32+42=25=DF2=52，所以DBF是直角三角形，即DBBF.

又BC∩BF=B，故DB平面BCF，故平面ABDE平面BCF，平面ABDE∩平面BCF=AB.

又CFAB，所以CF平面ABDE，故DECF.又因为DB∥EA，故EA平面BCF.

在RtDGE中，DE=■=2■，在RtEAC中，EC=■=2■.

因为EC2+DE2=（2■）2+（2■）2=28=DC2=（2■）2，所以DEC是直角三角形，即DEEC.

又EC∩CF=C，故DE平面CFE.

（2）多面体ACBDE是由三个三棱锥所组成的，

VACBDE=VD-BCF+VD-ECF+VE-ACF，

VD-BCF=■×■×■×3×4=2■，

VD-ECF=■×■×■×■×2■=■■，

VE-ACF=■×■×■×1×2=■.

VACBDE=VD-BCF+VD-ECF+VE-ACF=2■+■■+■=4■.

19. （1）解：当n=1时，4S1=2a1+a12，即a12-2a1=0，解得a1=2，a1=0（不合题意舍去）；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=■an-■an-1+■a2n-■a2n-1，

整理得■（an+an-1）=■（an+an-1）（an-an-1）.

由题意得an>0，故有an-an-1=2，即数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以数列{an}的通项公式为an=2n（n∈N*）．

（2）假设存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列，则bkbk+2=b2k+1．因为bn=lnan=ln2n（n≥2），

所以bkbk+2=ln2k・ln2（k+2）

■■

这与bkbk+2=b2k+1矛盾．

故不存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列．

20解：因为抛物线y2=2px经过点Ｍ（2，－２■），故（－２■）2=4p，解得p=2.

所以抛物线的方程为y2=4x，其焦点为F（1，0），

即椭圆的右焦点为F（1，0），得c=1，又离心率为■，所以a=2，得到b2=4-1=3，故椭圆方程为■+■=1.

（2）解法1：依题意可得直线方程为l：y=x-1，由y=x-1，y2=4x，可得（x-1）2=4x，即x2-6x+1=0，因为x=■=■=3±2■，所以y=■=■=2±2■，即交点为A（3＋2■，２＋2■），

B（3－2■，２－2■），故ＡＢ＝

■

＝■＝８.

解法2：抛物线的准线为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），A，B两点到x=-1的距离为dA，dB，由抛物线的定义可得ＡＦ＝dA＝x1＋１，ＢＦ＝dＢ＝x２＋１，故ＡB=ＡＦ+BＦ=x1+x2+2.

依题意可得直线方程为l : y=x-1，由y=x-1，y2=4x，可得(x-1)2=4x，即x2-6x+1=0,所以x1+x2=6，ＡB=x1+x2+2=6+2=8.

（3）N(-2,0),■=(-2-x,-y) ，■=(1-x,-y),■・■=(-2-x)(1-x)+y2=x2+x-2+y2(-2≤x≤2).

又因为y2=3-■x2，故■・■=x2+x-2+3-■x2=■x2+x+1=(■+1)2，所以当x=-2时，■・■取得最小值0；当x=2时，■・■取得最大值4.

21. 解：（1）f'(x)=ex(x2-ax+1)+ex(2x-a)=ex［x2+(2-a)x+1-a］=ex(x+1-a)(x+1).

由f ′(x)=0,可得x=a-1或x=-1.因为a＞0，故a-1＞-1.

由f ′(x)＞0可解得x＞a-1或x＜-1，由f ′(x)＜0可解得-1＜x＜a-1,

故当a＞0时，函数的单调增区间是(-∞,-1),(a-1,+∞)；减区间是(-1,a-1).

（2）当a＞0时，若f（x）≥(a2-■a+■)e2-a对任意x∈R恒成立等价于f(x)min≥(a2-■a+■)ea-1, 因此只要求出f(x)的最小值即可.

由(1)可知a＞0时,函数f(x)在x=a-1上取得极小值,即最小值为f(a-1)=ea-1(2－a)，故ea-1(2-a)≥(a2-■a+■)ea-1，整理得a2-■a+■≤0，解得■≤a≤1，所以实数a的取值范围为［■,1］.

(本试题由广东省五华县五华中学黄伟军老师拟制)

责任编校 徐国坚