初中数学“比较型”题型解法初探

【摘要】“比较型”题型在数学教学中经常出现，由于其形式灵活，构思精巧，知识覆盖面广，应用十分广泛。学好其解法和技巧可以开阔学生思路，活跃学生思维，有“事半功倍”之功效。

【关键词】比较型题型；特殊值法；换元法；倒数法；因式分解；构造法【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）13-0270-02

“比较型”题型在数学教学中经常出现，由于其形式灵活，构思精巧，知识覆盖面广，应用十分广泛。在数学考试中有关“比较型”的题目多种多样，难易程度不同，其解法和技巧也是多种多样。特别是某些题目的解法和技巧，让人有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。学好其解法和技巧可以开阔学生的思路、活跃学生思维，有“事半功倍”之功效，从而达到提高学生智力之目的。

常见比较型题目除采用做差比较、做商比较、平方比较以外，还可采用以下方法：

特殊值法

所谓特殊值法是指假设某些符合条件的数值，使问题具体化、形象化和可操作化，从而完成解答。

例：若x

A、M

C、Q

分析：将x、y赋满足条件的具体值，进行比较问题会清晰明了。

解：设x=-2 ，y=-1.则M=2，N=1.P=32 Q=2

故有 M>P>Q>N. 故选 D

2换元法

所谓换元法就是在一个比较复杂的代数式中，用新的变元去替代原式的一个部分或改进原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

例：试比较232008232009与232009232010的大小

分析：在题目中出现了3个无法计算的代数式：232008、232009和232010。

不防将中间的232009作为参照，令其为X，从而得到其232008和232010之间的关系，再进行比较。

解：设232009=x，则232008=x23232010=23x

3倒数法

我们知道，某些代数式与其倒数之间有着微妙的规律，乘积为1，对某些无法计算的算式，将其倒数化，会使问题迎刃而解。

例：试比较的大小。

分析：在平时的解题中，如果我们细心就会发现3-2的倒数为3+2，4-3的倒数是4+3，5-4的倒数是5+4，利用这一规律适合这一题目，将会很具体。

4因式分解法

所谓因式分解法就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。它是恒等零形的基础，因式分解方法主要有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、利用拆项、求根分解、换元、待定系数法等等。

例：已知a>b>c，证明a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）>0

分析：以a为主元将左边进行分式分解，再进行证明。

左边=（b-c） a2+（c2-b2）a+（b2c-bc2）

=（b-c） a2-（c-b）（c+b）a+bc（b-c）

=（b-c）[a2-（b+c）a+bc]

=（b-c）（a-b）（a-c）

a>b>ca-b>0. a-c>0. b-c>0.

（b-c）（a-c）（a-c）>0.

故：a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）>0

5分子有理化

对于一个分数来说，若分子式一个无理数组成的代数式，采取方法是将其化为有理数的过程成为分子有理化。分子有理化可以统一分子，实现一些在标准形式下不易进行大小的比较，有时可大大简化一些乘积运算。

例：已知：c>1，x=c-c-1，y=c+1-c，z=c+2-c+1，则x、y、z的大小关系是（）。

A.x>y>zB.z>x>yC.y>x>zD.z>y>x

分析：该题目直接比较大小困难重重，如果利用分子有理化将是转化成由代数式相加表示.问题便得到简化。

6构造法

所谓构造法就是在解题目时，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素（可以是图形、方程组）、等式、函数、等价命题等，从而架起一座连接条件和结论的桥梁。以便使问题得到解决。运用构造法解题、可以使代数、三角、几何等多种数学知识互相渗透，它也是体现创造性思维的一个重要环节。

例：已知当0x1时，二次三项式x2-2ax+a2-1的值恒为正数，求实数a的取值范围。

分析：此二次三项式以x为主元降幂排列，可采用配方法将其分解因式，利用二次函数的性质（结合图形）就可确定a的取值范围。

因二次项系数为1，所以函数开口向上，又因当0x1时，二次三项式的值恒为正数。所以函数图像如图所示。

分类讨论：①当a-1>1时，得a>2；

②当a+1

7反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这一假设出发，经过正确推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法，其方法有归纳法和穷举法。