数学教学中的知识学习与能力培养

[摘 要] 简要论述了“知识学习”和“能力培养”的关系，指出在教学中培养创新能力的重要性，重点探讨了教学直觉思维的培养、求异思维的培养以及逆向思维的培养，论述了惯性思维隐藏的危险性，同时通过具体实例加以论证。最后指出创新能力的培养就是尽量挖掘教学内容和创造性元素，激发学生的创新意识。

[关键词] 数学教育；教学方法；知识学习；创新能力

[中图分类号] G424.74 [文献标志码] A [文章编号] 1005-4634（2014）04-0062-04

0 引言

受中小学应试教育“熏陶”，迈入高等学府的青年学生往往以为“知识学习”就是大学生活的全部，岂不知“能力培养”才是学习的目的；当教学管理者只以学生课业成绩的高低评价教师教学水平、评定学生的奖学金时，进一步使青年学生误认为只要课业分数高就拥有一切。这种现象、认识与教育教学目的背道而驰，与培养创新人才、精英人才的目的相向而行。本文论述了大学数学教学中“知识学习”和“能力培养”的关系，探讨了能力培养的途径和方法，以期为大学数学教学改革研究提供一个视角，确定一条主线。

1 数学“能力培养”是“知识学习”的提升

通过中小学的学习，大学在校生具备了较好的数学知识学习能力，例如对数学定义的理解、简单性质和定理的推导、模仿例题求解相似的数学题等。还有一部分学生通过做大量的习题提高计算能力，我国著名数学家苏步青当年学习微积分时，做了一万道习题，可见大师也是付出了辛苦的汗水。“知识学习”是“能力培养”的前提条件，只有掌握了扎实的基础知识，才会具有培养能力的保障。特别是工科学生，掌握“数学”这个工具是进一步学好专业的基础，要达到灵活运用“数学”工具的目的，还需要深刻领会数学的内在规律，提出问题，建立模型，运用知识解决问题。这就涉及到“数学能力的培养”，学习数学知识，重在应用，应用的需求反过来推动知识的学习，灵活运用数学知识的本质就是具有“数学思维”的能力。因此“数学能力”的培养在于教学过程中“数学思想”的培养和训练，“数学能力”的培养也是数学“知识学习”的提高和深化。

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

创新是在国际上抢占科技和经济的制高点、在国际竞争中立于不败之地的基本保证。要大力强调创造性人才的培养，把不断提高培养质量、培养更多的高层次创造性人才作为教育的重要任务。当前及以后的国际竞争就是综合国力的竞争。综合国力的竞争归根结底是人才的竞争。谁拥有大量的高素质、创造性人才，谁就能抢占、控制科技和经济的制高点，谁就能在国际竞争中掌握主动，立于不败之地。数学作为基础学科，不仅是学生进一步学习的工具、认识的工具，还是思维的工具；不仅具有很强的思想性、综合性，而且还具有很强的实践性。数学是思维的体操，是一切抽象科学方法的基础。数学教学实质是数学思维过程的教学[1，2]。

2 直觉思维是数学能力的源泉

直觉思维是创造发明的先导，是进行创造活动的基本心理成分，著名物理学家爱因斯坦根据自己亲身的科学创造实践认为，科学研究“真正可贵的因素是直觉思维”。他把科学创造的过程简捷地概括为这样一种模式：经验-直觉-概括或假设-逻辑推理-理论。可见，直觉思维是创造的关键，一般创造发明多是在观察和实验所取得经验材料的基础上，通过直觉思维提出假设、猜测而形成新思想。所以院校进行学生创造能力的培养，必须注意直觉思维的培养。

直觉思维的教学方法不同于分析思维的教学方法，分析思维的教学方法是按照知识内部的逻辑结构循序渐进的推理，最后得出结论。例如，在讲解定积分定义的时候，从历史发展的背景、问题的提出、解决问题到总结归纳，进行逐步分析，最后得出定积分的定义。这种方法有利于学生基础知识的掌握，但长期循规蹈矩，不利于培养学生的创造能力。直觉思维的教学方法是积极引导学生从整体上、本质上研究问题，在学生初步观察了解学习材料的基础上，直接提出核心的本质的问题，让学生立即动员全部生活经验和知识进行快速思维，对问题进行试探性地猜测和假设，跟着感觉走[3]。然后通过逻辑分析对问题的答案进行检查验证。例如，在线性代数中，可以让学员凭直觉判断在矩阵运算中，“若AB=0，则A和B，至少有一个是零矩阵”的命题是否正确，然后论证。讲解空间解析几何可利用平面解析几何的诸多结论，直接判断或直接写出在空间解析几何中的结论，然后加以论证，不仅使学生有一种成就感，而且学生会更加注意论证过程，从而由论证过程得到分析问题、猜测结论、证明结论的一套思维训练。

直觉思维有利于培养学生思维的灵活性、敏捷性、创造性，提高学生对问题的洞察能力和应变能力。学生掌握了基本理论、学科的知识结构，知识就能广泛迁移，成为推理的依据和直觉思维的基础。无论在科学研究还是在日常生活中，直觉思维都非常重要。一个人不能直觉思维，在科学研究中就不可能提出假说和设想；一个人不能直觉思维，工作中遇事就会优柔寡断，学习中就不可能拥有主动权。

3 求异思维是数学能力的核心

求异思维是创造力的核心，思维要敢于不遵循已有的轨迹，敢于想前人不曾想或不敢想的事物，敢于用别人不曾用过的方法去探索。这要求学生要有独立果断的品质，因此，在教学中培养学生要敢于发表自己独立的见解，不谋求唯一正确的答案，求同辨异。课堂上给学生留出时间空间，积极为学生提供讨论学习的机会，努力形成教与学之间、学与学之间的思维活动，让学生自由发表意见。这些意见对每一个学生而言都是一种信息刺激，如被理解就会被纳入自己的认知结构，在新信息与旧信息融合时，或者在新信息的刺激下，通过联想作用激活另一个有价值的新概念，这种新观点便是学生自己的独立见解，在求同辨异中创造性学习的结果。数学发展历史上，经典的例子是通过求异思维由欧氏几何发展了非欧几何，由标准分析产生了非标准分析。

教师要肯定学生的标新立异和异想天开，从而保护学生的好奇心、求知欲和想象力。激发学生的创新热情，学生不是接受知识的“容器”，而是未来文明的创造者，只有今天敢于质疑、敢于批判，明天才能善于创新、善于超越。一个美国孩子在美术课上画了一个蓝色的太阳。老师问为什么，孩子答道：“我画的是大海里的太阳”。多么奇特的观察和想象，老师让全班同学为他鼓掌，这个奇怪的“蓝太阳”得了最高分。这是老师对孩子与众不同想法的充分肯定。鼓励还是扼杀“特别”，会直接影响孩子的创造思维的发展。

思维的独创性是指学生思维具有创见性。它不仅能揭示客观事物的本质特征和内部规律，而且能产生新颖的、从未有过的思维效果。在教学过程中抓住分析问题的时机，引导学生大胆设疑、标新立异，拓宽思维空间。寻找多种有效解题的方法，培养学生思维的独创性。教师要善于调动学生积极参与，明确目标、合理猜想、提出问题，使学生主动参与知识的形成过程，诱发良好的思维情感，使学生的思维更积极、感知更敏锐、想像更丰富、记忆更牢固。求异思维的内核是：敏于生疑，敢于存疑，勇于质疑。由生疑，到存疑，到质疑[1]，到新发现、新发明，这往往是各种创新活动的共同历程。相反，由轻信，到笃信，乃至到迷信，则往往导致人们渐渐丧失自主的理性、智性，丧失自主判识的自尊自信，渐渐地陷入只知唯书、唯上、唯权、唯命是从的驯服心理和盲从心态。

当然，倡导求异思维，并不是让人们不着边际地去胡思乱想、去异想天开、去任意蛮干。求异思维也是要在科学精神、科学理性、科学方法的引导下，才会有正确的方向和积极的成果。创新是人类社会发展与进步的永恒主题，具有个性化的求异思维能力是创新能力的一个重要体现，兴趣和学生求异思维的不可分割性，要求教师要创造性地运用教材，积极激发并保持学生学习兴趣，最终启发学生的求异思维。

4 逆向思维是数学能力的创新

逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于通常人们的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正常思维不能或是难于解决的问题迎刃而解。一些正常思维能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高，正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺。人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。然而习惯于正向思维的人一但得到了逆向思维的帮助，就象战争的统帅得到了一支奇兵。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使解决它变得轻而易举，甚至因此而有所发现，创造出惊天动地的奇迹来，这就是逆向思维的魅力。

在教学中有时碰到一些问题，顺向思维易陷入困境，从反方向思维往往茅塞顿开。例如，欲求极限，这是型未定式，显然必须变形，如何变形呢？中学阶段学的方法是分母有理化，变形后仍为型未定式。如果教师提示学生采用逆向思维，让学生采用分子有理化，变形后便可得所求极限。有些题目既可以引导学生用正向思维去解答，也可以从所求的结论出发，反向推理。寻找所需的已知条件、概念、原理和规律，引导学生利用逆向思维来解题。这样做既培养了学生从正逆两个方向去解决具体问题的能力，又促进了正逆向思维的联结，使两者相互检验、相互补充，进而产生良好的交叉效应。任何事物都是矛盾的统一体，如果从矛盾的不同方面去引导学生逆向思维，往往能认识事物更多的方面。例如，在讲到罗尔中值定理时，教师给出了四个函数：

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）中的函数不满足罗尔中值定理的任何条件，但却有罗尔定理的结论。（2）、（3）、（4）中的函数仅不满足罗尔中值定理的某一个条件，但却没有罗尔定理的结论。通过对这4个反例的设置，学生就会清楚地认识到罗尔中值定理的条件只是充分条件，而非充要条件。因此在应用罗尔定理时，若得不到想要的结果，就需另辟蹊径。

在日常生活中，有许多通过逆向思维取得成功的例子。例如有4个相同的瓶子，怎样摆放才能使其中任意两个瓶口的距离都相等呢？原来，把3个瓶子放在正三角形的顶点，将第4个瓶子放在三角形的中心位置，答案就出来了。逆向思维最宝贵的价值是它对人们认识的挑战，由此而产生不可估量的威力，人们应当自觉地运用逆向思维方法，创造更多奇迹。

5 惯性思维是数学能力的羁绊

事实上，本文只是简单举例并讨论了直觉思维、求异思维和逆向思维等数学思想，还有函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、隐含条件思想和概率统计等数学思想没有涉及。同时还要注意避免惯性思维的潜在危害，例如人们习惯于把有限运算的法则不知不觉地运用到无限运算中去。当人们为某些正确的成果而欢欣鼓舞的时候，往往忽略了思维中的潜在危险。

例如有人用除法得到：=及=，两式相加，因为+=0，推得的这个等式成立吗？看似上述推理毫无错误，却不知已经触礁“思维中的潜在危险”。

当然不能成立。因为=只有在时才成立，而=，只有在时才成立。由于这两个级数的收敛域没有公共点，因此不能相加。

又例如：三个学生用不同的方法，计算式子，竟然得出各不相同的结果。

甲学生：原式=（11）+（11）+（11）+…=0+0+0…=0

乙学生：原式=1+（1+1）+（1+1）+（1+1）+…=1+0+0+0+…=1

丙学生：令…，因为1（11+11+11+…）=，所以，

这正是把有限运算的法则，不知不觉地运用到无限运算中去的典型错误。

古希腊的学者芝诺曾提出一个著名的“追龟”诡辩题[3]。乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄，善跑的神。芝诺断言：阿基里斯与乌龟赛跑，如果开始时乌龟在阿基里斯前面，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。芝诺的理由是：假设阿基里斯开始时在 处，乌龟在 处，为了赶上乌龟，阿基里斯必须先跑到乌龟的出发点，当他到达 点时，乌龟已前进到点；当他到达点时，乌龟已前进到 点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已向前又爬动了一段距离。因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的。芝诺的论断显然违背常理，是错误的。无限多个很小的量的和，未必是无限大，“无限”地累加，也可能得出有限的结果。

设阿基里斯的速度是乌龟的10倍，乌龟在前面100米，当阿基里斯跑了100米时，乌龟已前进了10米；当阿基里斯再追10米时，乌龟又前进了1米；阿基里斯再追1米时，乌龟又前进了米，如此等等。于是，阿基里斯追上乌龟所跑的路程（单位：米）为：+…，利用等比级数的公式可知，=（米）。

例如求极限+…+，有些学生认为，括号中的每一项的极限均为零，即对于，=0，因此+…+=（）=++…+=0

如果所求极限是有限个式子的和，上述的思路显然正确。正是因为所求极限是无限个式子的和，要避免思维陷入误区，谨记无限多个很小的量的和，未必是无限大，也未必是无限小。设上述所求极限为，可知，利用夹逼定理可得=1。

6 结束语

数学能力的培养不是一蹴而就的事，需要教师和学生的长期钻研和体会，它是创新能力的基础训练，需要创新教学模式。创新教学模式不仅要教给学生知识，更重要的是要学生掌握知识是怎样形成的，既知其然，又知其所以然，尽量挖掘教学内容和创造性元素，激发学生的创新意识；训练学生把分散的、个别的知识，经过分析、分类变成综合的、系统的知识，这种综合能力是学生创新能力[2]的重要体现；不仅教会学生知识，更重要的是教会学生学习，走自主学习与创新之路，这对学生来说，终生受用无穷[4]。

数学教育的目的在于培养全面领会数学功能的人才，使他们既会应用数学知识解决实际问题，又能掌握科学的精神、思想和方法。例如，学过数学的大多数人，一生中可能很少使用已学过的专业知识，但这并不等于说他们的学习没有效用。很可能它们最大的收益在于掌握了数学的精神、思想和方法，提高了自己的思维能力，而且终身受益。不仅如此，数学研究水平的提高也需要深厚的思想基础，只有深刻理解和掌握数学精神和思想的人，才有可能取得数学理论和应用上的卓越成就。

在教学中，过分地强调数学思想，学生会感觉老师像在打太极，听的糊涂。怎样把握数学思想和数学表现形式二者之间的度就成为教学中很重要的一环，同样值得研究和探讨。希望数学教育教学能够丰富学生观察世界的方式，激发学生求知的欲望，锻炼学生的理性思维，发扬学生的探索精神和创新意识，使其利用自己的勤奋和智慧去做出发明和创造[5]。

参考文献

[1]吴艳，杨有龙.浅谈教学中的数学思想[J].西安电子科技大学学报（社会科学版），2005，（1）：41-44.

[2]吴艳.培养创新意识开发创新能力[J].高等教育研究，2001，（4）：71-72.

[3]黄晓学.让鲜活的思想在数学课堂中流淌[J].数学教育学报， 2005，（1）：16-19.

[4]王光明.数学教育需要重视的两个问题[J].数学教育学报， 2005，（1）：31-34.

[5]张顺燕.关于数学教学的若干认识[J].数学教育学报，2004，（1）：3-5+9.