函数图象的变换

图形的变换包括平移、翻折、旋转等变换方式.我们就从这几方面来探究已经学过的函数的图象变换的规律.

一、一次函数y=kx+b 图象的变换

（一）沿坐标轴的平移

1.当b=0 时，即y=kx ，其图象沿x轴向左（或右）平移m （m>0）个单位，函数图象变化后的表达式为y=k（x+m）（或 y=k（x-m））；其图象沿y轴向上（或下）平移n（n>0）个单位，函数图象变化后的表达式为y=kx+n（或 y=kx-n）.

2.当 b≠0 时，即y=kx+b，其图象沿x轴向左（或右）平移m （m>0）个单位，函数图象变化后的表达式为y=k（x+m）+b（或y=k（x-m）+b）； 其图象沿y轴向上（或下）平移n（n>0）个单位，函数图象变化后的表达式为y=kx+b+n（或y=kx+b-n）.

所以一次函数关于坐标轴的平移可用口诀“左加右减”、“上加下减”来记忆.

（二）沿坐标轴的翻折

1.当b=0时，即y=kx ，其图象沿x轴翻折，则新图象与原图象关于x轴对称.变化后的表达式为y=-kx ；沿y轴翻折，则新图象与原图象关于y轴对称.变化后的表达式为y=-kx.

2.当 b≠0 时，即y=kx+b，其图象沿x轴翻折，则新图象与原图象关于x轴对称.变化后的表达式为y=-kx-b ；沿y轴翻折，则新图象与原图象关于y轴对称.变化后的表达式为y=-kx+b .所以一次函数图象关于坐标轴对称时，其函数表达式的系数变为原表达式中各系数的相反数.

（三）绕原点旋转180°

根据图象易知，一次函数y=kx+b的图象绕原点旋转180°后与原图象重合.所以一次函数图象绕原点旋转180°后的表达式还是y=kx+b.

二、反比例函数y=k/x的图象变换

（一）反比例函数沿坐标轴的平移

当沿x轴向左（或向右）平移m（m>0）个单位时，变化后的表达式为y=k1x+m（或y=k1x-m）；当沿y轴向上（或向下）平移n（n>0）个单位时，变化后的表达式为y=k1x+n （或y=k1x-n）

（二）反比例函数沿坐标轴翻折

当沿x轴翻折时，横坐标不变，纵坐标变为其相反数.故变化后的表达式为y=-k1x.

（三）绕原点旋转180°

因为反比例函数的图象是关于原点对称的，所以当图象绕原点旋转180°后，与原图形重合.其变化后的函数表达式为y=k1x.

（四）关于直线y=±x对称

因为反比例函数y=k1x的图象关于直线y=±x对称，所以沿直线y=±x翻折后的表达式仍为y=k1x.

三、二次函数y=ax2+bx+c的图象变换

（一）二次函数的平移

1.二次函数的上、下平移 （1）二次函数y=ax2向上（或下）平移|m|（m﹥0）个单位，得到抛物线y=ax2+m（或y=ax2-m）（2）二次函数y=a（x-h）2+k向上（或下）平移|m|（m>0）个单位，得到抛物线y=a（x-h）2+k+m（或y=a（x-h）2+k-m）（3）二次函数y=ax2+bx+c向上（或下）平移 （m﹥0）个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）.

故二次函数上、下平移时按“上加下减”规律进行平移.

2.二次函数的左、右平移

（1）函数y=ax2向左（或右）平移|m|（m﹥0）个单位，得到抛物线y=a（x+m）2 （或y=a（x-m）2）

（2）二次函数y=a（x-h）2+k向左（或右）平移|m|（m﹥0）个单位，得到抛物线y=a（x-h+m）2+k（或y= a（x-h-m）2+k）

（3）二次函数y=ax2+bx+c向左（或右）平移|m|（m﹥0）个单位，得到抛物线y=a（x+m）2+b（x+m）+c（或y=a（x-m）2+b（x-m）+c）.

故二次函数左、右平移时按“左加右减”规律进行平移.

（二） 二次函数关于坐标轴的对称

（1）二次函数y=ax2关于x轴对称的抛物线是y=-ax2；（2）二次函数y=ax2+h关于x轴对称的抛物线是y=-ax2-h；（3）二次函数y=ax2关于y轴对称的抛物线是y=ax2；（4）二次函数y=ax2+h关于y轴对称的抛物线是y=ax2+h；（5）二次函数y=a（x-h）2+k关于x轴对称的抛物线是y=-a（x-h）2-k；（6）二次函数

y=a（x-h）2+k关于y轴对称的抛物线是y=a（x+h）2+k；（7）二次函数y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线是y=-ax2-bx-c；（8）二次函数y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线是y=ax2-bx+c.

（三） 二次函数关于原点的对称

（1）二次函数y=ax2以原点为旋转中心旋转180°得抛物线y=-ax2；（2）二次函数y=ax2+k以原点为旋转中心旋转180°得抛物线y=-ax2-k；（3）二次函数

y=a（x-h）2+k以原点为旋转中心旋转180°得抛物线y=-a（x+h）2-k；（4）二次函数y=ax2+bx+c以原点为旋转中心旋转180°得抛物线y=-ax2+bx-c；（5）二次函数y=ax2+k以顶点（0，k）为旋转中心旋转180°得抛物线y=-ax2+k（6）二次函数y=a（x-h）2+k以顶点（h，k）为旋转中心旋转180°得抛物线y=-a（x-h）2+k（7）二次函数y=ax2+bx+c以顶点（-b12a，4ac-b214a）为旋转中心旋转180°得抛物线y=-ax2-bx-c+4ac-b212a.1