分析初中数学实验的基本类型

数学教学要全面提高学生的数学素质,不仅要重视数学内容形式化、抽象化、严谨性,也要重视数学发现、数学创造过程中归纳和实验的方法.数学实验是数学学习的一种方式,这种学习方式,不是让学生被动地接受教科书上或教师讲授的现成结论,而是让学生从自己已有的数学经验出发,通过动手、动脑去获得新的数学经验,逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构.数学实验是引导学生发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性地解决问题的有效途径,也是完善学生认知结构,提高学生数学素养,并使其全面认识数学两个侧面的重要途径.

科学合理的分类将有助于我们了解初中数学实验的基本形态,有助于我们设计适合学生的、具有可操作性的数学实验,也有助于我们顺利实现教学目标.

一、关于初中数学实验类型划分的概述

初中数学实验,由于其实验的内容、目的以及实验所采取的工具等因素不尽相同,分类的方法与标准也呈现各自的特点.当下,关于数学实验的分类大致有以下几种.

(一)按照数学知识素材来划分

初中数学实验可分为数与代数实验、图形与几何实验、统计与概率实验、综合与实践实验等等.甚至可以根据更为具体的知识素材来分类.例如:有理数实验、代数式实验、图形的运动实验、特殊角的实验等等.此种分类方法的特点是,通过实验课题,我们便可了解实验的大概内容,适合作为章节实验,但对于实验的目的、实验的手段等其他信息则体现较少.

(二)按照实验的目的来划分

初中数学实验可分为验证性实验和探究性实验.验证性实验是通过实验操作、观察、记录、分析等手段检验一个数学判断或结论真伪的实验.探究性实验是通过实验来探索、回答一个对学生来说尚不知道答案的数学问题,一般只提供实验的课题.这两种实验有显着的区别:(1)验证性实验在学习完概念、原理之后,是对概念原理的分析和讨论,耗时一般较少;探究性实验则安排在概念原理的学习之前,为发现、提出概念原理埋下种子,用时一般较多;(2)验证性实验一般用于验证所给结论,实验在一定程度上是结论的附庸;探究性实验一般开始于一个有刺激性和探索性的问题,实验的过程受未知探索结果的吸引,对学生的兴趣和积极性要求一般比较高,有利于培养学生的数学情感和数学态度;(3)验证性实验中,教师往往是引导者、评论者;探究性实验中,教师往往是倾听者和提问者,教师和学生在探究性实验中遇到的挑战较验证性实验多.

此种分类的特点是,操作者对于实验的性质比较明确,在实验实施的过程中目标清晰,能更好地掌控课堂,做到收放自如.

(三)按照数学实验的实施场所来划分

初中数学实验可分为随堂实验、实验室实验和课外实验等.随堂实验是指穿插在课堂教学过程中的数学实验.随堂实验的特点是内容短小,使用的工具比较简单,学生能在较短时间内完成,直接为随后的数学主题服务.随堂数学实验设计的主体一般是教师,学生和教师都可以成为实施主体;实验室实验一般是指围绕一个数学主题,需要在专门配置的“数学实验室”组织的实验.实验室实验一般内容较丰富、过程比较长,具有一定的思考性和探索性.一般需要制定实验计划,在实验室借助专门的工具和材料或者计算机及专用数学软件进行操作实验,要求学生观察现象或记录数据,分组讨论实验中所出现的现象或对数据进行分析处理,得出一个结论,并给出合理的数学解释,最后写出完整的实验报告.实验室实验的设计主体可以是教师,也可以是学生,但实验的主体一定是学生;课外实验是指学生在校外借助社会场所、资源、工具等开展的数学实验.这类实验的特点一般具有开放性、探索性、生成性.实验的内容可大可小,实施的时间可长可短.课外实验的设计主体原则上是学生,实施的主体则一定是学生.

此种分类方法的特点是,有助于教师认清数学实验的外部环境特点和实施的主体,能根据实验内容的大小和时间的长短、实验所需的场所和工具,来设计和选择恰当的数学教学形式开展数学实验.但这种分类方法也适用于其他学科,不具备数学学科的特殊性.

(四)按照实验工具来划分

初中数学实验的显着特征是实验工具的多样性,概括起来有两大类:实物直观和计算机.实物直观又包括很多,比如纸、三角板、扑克牌等.因此,依据数学实验所使用的工具来区分,可以分为计算机实验、折纸实验、火柴棒实验、三角板实验和骰子实验等等.

此种分类方法的特点是,对于实验所需要的工具一目了然,但分类过于宽泛、笼统,对于实验的内容、实验的目的往往不够明确.比如借助计算机来实现的实验内容非常多,有图形的运动、图形的平移、圆周角的性质、一次函数的性质等等.此外,在一个实验中,往往所选用的实验工具不止一种,而被划分为不同的实验类型,也缺乏合理性.

(五)按照实验手段来划分

初中数学实验可分为手工操作型、软件运用型、数学建模型和思维活动型.(1)手工操作型实验.通过动手操作,在教师指导下对数学的定义、定理、公式、法则等进行验证或发现的小型实验.这种实验一般易于操作,器材容易准备,占用时间不多,可以在课堂上或课外随时进行.比如学生只要用一个纸质等腰三角形,动手通过对折就可以得出等腰三角形的性质,也可以用一些硬纸皮做立方体的表面,然后沿某些棱剪开平铺,从而探究立方体图形的展开图等等.(2)软件运用型实验.该类型的实验主要是借助计算机,利用数学软件来实现的,如可以利用“几何画板”的画图功能,来探究函数、几何图形的性质,也可以借助计算机完成数值计算等.(3)数学建模型实验.数学建模是数学实验的一个重要组成部分.此类实验更多的是解决生活中的实际问题,将生活问题利用数学建模,抽象成数学问题,这种实验可以是课内实验,也可是课外实验,对学生的要求较高,需要学生有较扎实的数学功底和较强的实践能力.(4)思维活动型实验.思维活动型(思维实验)是指不借助实物工具,只在头脑中模拟实验的全过程,并通过思维活动检验实验的可行性,从而得出结论的思维活动.思维活动型实验还包括对实验对象或条件的理想化实验,这类实验一般适用于对问题的定性分析或对某一实验操作过程的思维重现.

此种分类方法的特点是,概括较为全面,但分类中有交叉,比如在数学建模型的实验中,既有手工操作的案例,又有一些是软件运用型实验,范围界定不够清晰.

二、初中数学实验的基本类型及其分析

数学实验最重要的两个因素是实验目的与实验工具. 实验的目的是实验要完成的教学目标,是实验的最终归宿.而实验的工具是实现实验目的的有效手段,是实现教学目标的有力保障.因此,本文将从实验目的和实验所采用的工具两个维度来划分初中数学实验的类型.实验目的概括起来有三种:验证、理解和探索.初中数学实验具有工具多样性这一特点,为方便讨论,本文将数学实验工具概括为两类:实物模拟和计算机模拟.于是初中数学实验可以分为六种基本类型,即实物验证型、实物理解型、实物探索型、计算机验证型、计算机理解型以及计算机探索型.

(一)实物验证型

实物验证型实验,顾名思义是建立在实物直观上的验证型实验.该类数学实验,可以帮助学生通过实验检测、验证已得结论或猜想的正确性,从而在实物直观的基础上获得数学知识的理解.其一般步骤为:提出问题——动手操作——观察分析——验证结论.

观察是思维的入口,感性认识的开端,人们认识客观事物总是从观察开始.首先观察数学现象,得到一些感性材料,再经过分析概括,演绎推理等对这些材料进行加工处理,从而上升到理性认识的高度.由于中学数学教学内容大部分是初等数学,许多数学概念、命题都有其产生的直观背景,因此,它仍是中学数学实验教学的一种主要实验形式.利用实物或数学教具进行实践操作,在真实环境中进行数学实验,是一种有效的学习方式.

实物验证型实验的特点是:直观,思维起点低,操作简单.

例1 “平方差公式”的验证.

实验目的:验证“平方差公式”.

实验工具:如下页图1所示形状的纸片一张,剪刀.

实验步骤:

(1)给学生分组,小组合作求图形的面积;

(2)小组代表发言,学生的方法概括起来以下有两种:

①整体法:大正方形的面积减去小正方形的面积,得到式子.

②割补法:将图形剪裁后再拼接,得到矩形(如图2),进而求得面积(a+b)(a-b).

(3)由同一图形的面积相等得到公式(a+b)(a-b)=.

(二)实物理解型

实物理解型实验,是借助实物直观,以学生理解数学概念、定理等数学知识为目的的数学实验.此类数学实验通常是在人为干预实验对象的条件下进行的.借助对实物直观的操作,深刻理解数学概念、原理等.这类实验在初中数学实验中占有相当大的比例.它主要通过学生对实验材料的“数学化”操作来实现对数学概念、原理和事实的接受和理解.

实物理解型实验的特点是:实验情境贴近生活,实验过程操作简单,便于学生理解.

例2 “摸棋子”实验.

实验目的:通过“摸棋子”实验深刻认识、理解概率.

实验工具:围棋、不透明的布袋(分为大小两种)、计算器、作图工具、纸、笔等.

实验说明:

(1)实验规定——取黑、白两色棋子各若干枚,放在不透明的布袋中,充分摇匀后,每次摸出一颗棋子,记录其颜色,然后放回,再次摇匀,再摸,再记录,重复上面的动作.

(2)分组规定——每4人组成一个实验组,2人用较大布袋摸取棋子,此两人组成第一小组;其他2人用小布袋摸取棋子,此两人组成第二小组.

实验步骤:

(1)取黑、白棋子各5枚,放入小布袋中,一位同学负责摸取,一位同学负责记录;取黑、白棋子各20枚,放入大布袋中,一位同学负责摸取,一位同学负责记录.尽可能多次摸取.记录每组数据,汇总统计全班数据,绘制摸到黑棋子频率折线统计图,猜测实验结论:在不透明的布袋中,当黑、白棋子数量相等时,摸取一枚棋子,摸到黑棋子的概率是多少?

(2)取黑棋子10枚、白棋子20枚,放入小布袋中,一位同学负责摸取,一位同学负责记录,尽可能多次摸取.记录每组数据,汇总统计全班数据,绘制摸取黑棋子频率折线统计图,猜测实验结论:在不透明的布袋中放有黑棋子10枚、白棋子20枚时,摸取一枚棋子,摸到黑棋子的概率是多少?

(3)实验猜想:在不透明的布袋中放有黑棋子m枚、白棋子n枚时,摸取一枚棋子,摸到黑棋子的概率是多少?

(三)实物探索型

实物探索型实验是借助实物直观,以探索未知结论为目的的数学实验.教师创造、模拟、再现问题情境,引导学生自主探究数学知识、发现数学结论(或假设)的学习活动.数学实验的一大特征是过程的探究性,探索型实验对学生智力的发展,创造能力的培养,科学方法的形成都有很大的帮助.

实物探索型实验的特点是:具有开放性、探索性、生成性,对学生的数学素养、教师的引导方法要求较高.

例3 探索“三角形全等”的条件.

可以设计以下的数学实验让学生主动探究.

实验目的:探索“三角形全等”的条件.

实验工具:每位同学准备一个三角形纸板和六根木棒,其中三根与纸板三边分别等长.

实验步骤:

(1)取一根与三角形纸板的一边相等的木棒,再取两根与纸板另两边不等的木棒搭建一个三角形,这个三角形与三角形纸板能重合吗?

(2)取两根与三角形纸板的两边对应相等的木棒,再取一根与三角形纸板的另一边不相等的木棒搭建一个三角形,这个三角形与三角形纸板能重合吗?

(3)取三根与三角形纸板的三边对应相等的木棒搭建一个三角形,这个三角形能与三角形纸板重合吗?

(四)计算机验证型

计算机验证型实验是指,在讲授新课后或问题解决以后,通过计算机操作来进一步验证原理和结论正确性的实验.此类实验要求的实验准备不高,只需要给学生提供计算机,并简单地介绍常用数学软件的基本使用方法(如“几何画板”),即可以借助其完成公式验算、数值计算、图形绘制等工作.

计算机验证型实验的特点是:实验准备省时省力,实验过程简单、高效,但要求学生有计算机和数学软件的相关知识做支撑.

例4 “圆周角性质”的验证.

实验目的:验证“圆弧所对的圆周角的2倍与其所对的圆心角相等”.

实验工具:计算机(装有“几何画板”5.0).

实验步骤(学生操作):

(1)打开“几何画板”5.0界面,作出圆O;

(2)在圆O上任取三点B、C、D,连接BO、OC、BD、CD(如图3);

(3)度量∠BOC、∠BDC的大小;

(4)计算2∠BDC;

(5)比较2∠BDC与∠BOC的大小关系.

(五)计算机理解型

该类数学实验往往是基于计算机平台,借助专门的数学软件,使学生深刻理解某些不易掌握的数学概念、数学定理,同时增加学生的情感体验,提高学生的学习兴趣,让学生快速掌握这些概念和其中的数学思想、数学方法和几何背景.

计算机理解型实验的特点是:操作简单、生动高效、需要学生有计算机和数学软件的知识背景等特点.这一类型的数学实验具有辅助教学的作用,在教学中运用得较多,计算机功能强大,对于抽象的知识或者用实物操作较难完成或耗时过多的知识,都可以借助计算机及数学软件来加强学生对知识的理解.

例5 “理解图形的形成”.

实验目的:体会点动成线、线动成面、面动成体的过程,理解图形的形成.

实验工具:计算机(装有“几何画板”5.0).

实验步骤:

(1)任意作一条线段AB,及线段上一点C,标记向量AC.

(2)在线段外任作一点D,编辑——操作类按钮——移动.

(3)选中D,显示——追踪点,得到点D按向量AC运动的轨迹,如图4.

类似地,借助“几何画板”,让学生感受线动成面,面动成体.

(六)计算机探索型

该类数学实验是借助计算机(包括图形计算器)的快速运算功能和图形处理功能,模拟再现问题情境,引导学生自主探究数学知识、检验数学结论(或假设)的学习活动.

计算机探索型实验的特点是:开放性强、探究性强、对学生的数学素养和计算机技能要求高、对教师的课堂掌控力要求高.

例6 “利用‘几何画板’探究一次函数图象及其性质”.

实验 目的:探究“一次函数图象及其性质”.

实验工具:计算机(装有“几何画板”5.0).

实验过程:

(1)引导学生从最特殊的正比例函数图象开始研究y=x、y=-x、y=2x.

(2)探究一次函数y=2x+1的图象.

①在x轴上取一个点X;

②选中该点,度量其横坐标,把标签修改为x;

③下拉数据菜单,计算2x+1;

④下拉绘图菜单、绘制点P(x,2x+1);

⑤选中点P,下拉显示菜单,追踪绘制的点P;

⑥拖动点X,观察点P经过的路线;

⑦选中点X,下拉显示菜单、生成点X的动画,再观察点P经过的路线.

(3)双击“2x”打开计算器把2逐次修改为0.5、1、3、5.5、10,利用逐次绘制y=0.5x、y=x、y=3x、y=5.5x、y=10x的函数图象,观察图象.用同样的方法逐次绘制y=-0.5x、y=-x、y=-3x、y=-5.5x、y=-10x的函数图象、观察图象.

(4)同理研究b值变化时,图象的变化情况