论数学教学中的分析和综合

摘 要：在思维过程中，综合不断地过渡到分析，而且反过来分析过渡到综合，数学教学中要善于利用分析和综合这种相互联系的统一性特点，善于在需要时分清楚哪是分析，哪是综合，并引导学生正确运用这一数学学习研究的基本方法。

关键词：数学；分析；综合；思维

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）12-075-01

分析和综合作为两种科学研究方法，在数学研究中有着特别重要的地位和作用。在数学教学中，它们具有同样重要的作用，它们以各种不同的形式应于数学教学中，既是解题和证明定理的方法，又是研究数学概念的性质等等的方法。

一、数学中分析和综合的统一性

分析和综合实际上彼此不可分离，它们同时出现，互相补充，构成统一的分析-综合法。例如，利用分析法将一个复杂的问题分析许多简单的问题，然后利用综合法将这些简单问题的解合并为一个统一的完整解答。最初，分析被形式地理解为由整体到它的各部分的过程（思维方法），而综合是由局部到整体的过程（思维方法）。按照这种意义来理解的分析综合，可以用通常见到的生活中的情况作为应用它们的例子：小孩子“拆卸”玩具，就是他自己在进行“分析”（它想知道玩具是怎样做成的），而小孩将玩具各个部分组装起来，就是他自己在进行“综合”。

现在，在某些实验科学中，分析和综合有时就是这样理解的（例如化学反应中的分解反应和化学元素的化合反应）。以后，分析被看成是从结果追溯到产生这一结果原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。按照这种意义来理解的分析和综合，可以用解答同一个文字题的算术方法和代数方法作为应用它们的例子：算术方法体现的是综合，而代数方法体现的是分析。

最后，分析被看成是以借助数和度量的概念从数量方面研究客观事物的性质为基础的研究方法，而综合是以从质量方面研究客观事物的性质为基础的研究方法。象解析几何和综合几何这样一些学科，在一定程度上是按分析和综合的这种意义而分科的。分析和综合看作是科学研究方法，有时也看作是研究学习内容的方法。分析和综合还可以作为思维过程的特殊形式，也就是极其重要的思维的心理特征。从心理学的观点看，“思维过程，首先是始和将分析得出的结果加以综合，其次才是抽象和概括，而且后者是由前者派生的”。心理学家断定，思维过程的各个阶段互相联系着，它们具有的规律性就是思维的基本规律性。

二、过滤式的分析方法

许多心理学研究表明，分析可以以不同的形式出现。例如：1）“过滤”式的分析；2）通过综合的分析。“过滤”式的分析的情况下，解题者没有任何明确的计划，只是摸索着寻找解答所给问题的方法，一种方法不行就试试别的方法，逐次淘汰不合用的方法。

可以作出这样的假设，即这种试验的办法就是分析的特有的形式。换句话说，每一次试验，尽管它不能直接取得进展，但是它可以使人们想到解题的正确途径。在心理学家的研究中，上述假设得到了证实。通过对解答难题的过程的研究可以看到，这时要求解题者具有猜测的能力，因而也就特别清晰地表明了试验方法的有效性。研究表明，猜测有赖于分析，借助分析才能克服在问题的条件中人为设置的种种困难。

举一个例子：要求用6根火柴组成4个等边三角形。这个问题的困难，在于问题的条件会使解题者认为所求图形应当在一个平面上构成，而实际上寻求这个问题解答的方向应当是在空间作四个三角形（即四面体）。开头，解题者会在平面上作各种解题的试验，以后会突然猜想到出路可能是三维空间。

我们再看一个例子：在数学小组的一次作业课上，向七年级学生提出这样一道习题：

“池塘的水面上生长了浮萍。浮萍所占的水面面积每天增加一倍。经过100天以后，整个池塘长满了浮萍。经过多少天浮萍所占的面积是池塘面积的一半？”

学生好久都找不到问题的正确答案，提出了各种各样的答案（最多的答案是：池塘水面的一半要50天才能长满浮萍）。有一个学生终于会解这道题了。教师问他用什么办法解这个题的；学生回答说，问题的条件使他想到了正确的解答：“问题的条件说，浮萍所占水面的面积每天增加一倍。如果整个池塘要100天才长满，那么半个水池就要99天。”这个学生对问题的条件所作的深刻的分析，可为问题突然获得解答打下了基础。当然，应当指出，不仅用试验的方法解题会产生正确的猜测，而且应用其他方法时也会产生。

三、综合的分析方法

分析的第二种形式即经过综合的分析。分析的这种特殊形式，是整个思维活动和任何思维活动的主导环节。因此，我们要比较详细地讨论思维过程的这个组成部分。简单地，因而也就是概括地、粗略地说，分析的这一基本形式，思维过程的基本核心，就在于思维过程中对象同所有新的联系相联结，因而也就突出了对象的所有新质，而新质可以由新的概念来判定。因此，好象可以将对象的全部新的内容挖掘出来。好象客体每次旋转到另一面，它都会显露所有新的性质。

将所研究的对象放到一组联系和关系当中，从这组联系和关系中发现对象新的方面、本质和性质，这个认识过程就是通过综合的分析。将一个对象放到意外的一组联系当中，有时会令人惊奇不已，甚至感到荒唐可笑。在生活中，这种现象往往是用俏皮话、奇谈怪论和笑话的形式表现出来。

比较可以看成是应用综合法进行的分析，以致得到某一种概括或者新的综合。例如，在证明两个已知三角形合同（即全等）时，我们先将两个三角形的相应元素划分开来，即考察它们的角和边―这是在进行分析，然后作出对应角和边合同的结论―这是在进行综合。在所得结论的基础上，作出一般的结论：这两个三角形合同或者不合同―这是在进行新的综合。

我们看到，比较是从现象的关联或者对比开始的，也就是从综合的行动开始的。借助这种综合的行动，分析所比较的对象―从各个对象中划分出它们的共同点和不同点；由分析而得出的共同点进一步又联结成即综合成概括的现象。比较就是综合和分析互相联系的一种具体形式，利用这种形式可以实现经验的概括和现象的分类。在经验的认识水平上，在它的最初阶段，特别是对儿童来说，比较的作用更加重大。

在数学研究和数学教学过程中，分析和综合常常同时应用。最重要的是教师应当善于在需要时分清楚哪是分析，哪是综合，同时应当记住：分析是通向发现之路，而综合是通向论证之路。