浅谈二次函数在高一数学中的应用

摘要：在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，很难从本质上加以理解。进入高中以后，对二次函数还需再深入学习。进一步帮助学生理解函数概念，进一步论证了二次函数的单调性与图象， 巧妙求二次函数的最值。二次函数，它有丰富的内涵和外延。二次函数的内容涉及很广，在今后的教学中，我将继续研究二次函数相关知识，争取有新的发现。

关键词：二次函数、单调性、最值

中图分类号：G633.6

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。下面我把自己在多年的职高数学教学中对二次函数在高一数学中具体应用做一个小结。

一、可以帮助学生进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射 :AB，使得集合B中的元素 与集合A的元素X对应，记为 这里 表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知 ，求

这里不能把 理解为 时的函数值，只能理解为自变量为 的函数值。

类型Ⅱ：设 ,求

这个问题理解为，已知对应法则 下，定义域中的元素 的象是 ，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成 的多项式。

，再用 代 得

(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令 ，则 从而

二、进一步论证了二次函数的单调性与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数 在区间 及 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。

类型I：函数 在区间 上单调递减，求：实数 的取值范围

解：因为函数 的图象的对称轴为直线 ，且在区间 上单调递减，所以

，即

类型Ⅱ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

三、巧妙求二次函数的最值

解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论，一般分为对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况。

1、 正向型

正向型指已知二次函数的解析式和定义域，求其最值。对称轴与定义域的相对位置关系的讨论是解决此类问题的关键，此类问题包括三种情形：轴定，区间定；轴定，区间变；轴变，区间定。

轴定，区间定

类型I：已知函数 ，当 时，求最大值和最小值。

解：

当 时， ，则当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 。

轴定，区间变

类型Ⅱ：设函数 ， ，求函数 的最小值。

解： ， ， ，对称轴为 。

当 ，即 时，函数 在区间 为减函数，所以最小值为

当 ，即 时，在对称轴为 处取得最小值，最小值为

当 时，函数 在区间 为增函数，所以最小值为

综上可知， ，

，

，

轴变，区间定

类型Ⅲ：求函数 在 上的最大值

解： 的对称轴为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

当 ，即 时， 在 上的最大值为

综上可知， ，

，

，

2、 逆向型

逆向型指已知二次函数在某区间上的最值，求函数解析式或区间中的参数值。

已知函数 在区间 上有最大值 ，求实数 的值。

解：

当 时，函数 在区间 上的值为常数 ，不符合题意，舍去

当 时，函数 在区间 上是增函数，最大值为 ，解得

当 时，函数 在区间 上是减函数，最大值为 ，解得

综上可知， 的值为 或

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广，在今后的教学中，我将继续研究二次函数相关知识，争取有新的深入发现。