谈数学思想与数学方法的关系

数学思想和数学方法是数学教学中经常涉及到的概念，特别是在数学教学目标中出现的频率更大。修改后的《数学课程标准》已明确了数学思想和数学方法是不同的两个概念，弄清这两个概念的区别与关系，对数学教学有着十分重要的意义。

数学思想和数学方法是比数学的陈述性知识更高一个层次的学习内容。在提到时有的人将它们看成一个整体，称之为：数学的思想方法。例如统计的思想方法、方程的思想方法等。有的人将它们区别对待，称之为：数学思想和数学方法。例如提到数学思想时，有转化的思想、公理化思想、数形结合的思想等；提到数学方法时，有数学归纳证明的方法、加减代入消元解方程的方法、不等式证明的基本方法……不同说法反映了人们对数学思想与数学方法关系的不同认识，这种不同的认识影响教师对数学教学目标层次的认识，也影响教师处理数学教材的方法，所以有必要澄清。那么，数学思想与数学方法到底是什么关系呢？

思想在哲学中称为观念，是客观事物在意识中的反映，这种反映是指人们对客观事物的理性认识。那么数学思想就是数学观念，是人们对数学问题的理性认识。例如函数的思想就是人们对世界上很多事物之间存在的量的相互依赖、相互制约关系的一种认识。

方法在哲学中的含义是指人们认识和改造世界应用的方式与手段。那么数学方法就是人们在某种思想的指导下解决一类数学问题而采取的方式与手段，这种解决数学问题行之有效的方式与手段，会总结成一种具有可操作性的程序，供大家遵照执行。因此，严格地讲，数学思想是观念层面的概念，而数学方法则是操作层面的概念。数学思想是数学中处理一类数学问题的思路，类似于处理问题的指导思想，而数学方法是在具体数学思想指导下解决某一类问题的具体程序，类似于解决问题的手段和措施，它们的区别在于是否具有明显的操作程序。例如，数学的公理化思想是一种如何解决数学完整体系的观念，它虽然思考使用一套不证自明、公认的公理体系，通过演绎的方法推出一套系统的问题，使得这一套系统有严密的逻辑关系，但这一思想不具有明显的操作程序，所以不宜称之为数学方法。又如，数学归纳法作为中学数学的一种重要的证明方法，在证明的程序上有很明显的操作性，所以不宜称之为数学思想。但必须指出这种不宜也不是绝对的，公理化的数学思想虽然不宜称为数学方法，但不能说公理化的数学思想不含有操作的成分，确切地讲这种思想也包含两种操作程序：第一，找出一组符合条件的公理系统；第二，用演绎的方法进行推理得到一个推出系统。如果要强调这种思想的操作程序，将这种数学思想称之为数学方法也不是不可以的，但必须指出的是，强调公理化的思想远比强调公理化的方法对促进数学的发展更重要。同样，数学归纳法不宜称之为数学思想，但也不能说数学归纳的证明方法不含有一点数学思想的成分。数学归纳的证明方法也是在一定的数学思想指导下产生的一种证明程序，但将它作为一种重要的数学方法要求学生掌握，从而促进学生发展远比将它作为一种思想要求学生体会从而促进学生的数学发展更重要。

总的来说，如果强调操作程序，那么现在大家经常提到的数学思想可以称之为数学方法；如果强调思想的成分，那么现在大家提到的数学方法也可以称之为数学思想。正因为强调的内容不同，以及思想和程序不能严格区别开来，有些人干脆不加区别，统一称之为数学的思想方法，这种归类的称呼也不是没有道理的。但笔者认为：从中小学数学教学的角度看，数学思想与数学方法既然存在观念与操作上的区别，这种差别也就决定了学生在认识过程中的差别。数学思想这一教学目标的达成，学生需要在较长的数学学习过程中逐渐体会，才能深刻领会并形成自己的数学观念，然后自觉地用这种形成的观念去思考数学问题。而数学方法这一教学目标的达成，学生需要理解并明确程序，通过适当练习形成一定技巧就可以较好地掌握。数学思想在学生头脑中的内化远比学生理解、掌握数学方法复杂和费时。数学教学为了更好地适应这种认识过程中的差别，我们认为还是适当区别数学思想和数学方法为好，在概念上抹杀这种差别，笼统地提数学的思想方法既不利于教师的教学，也不利于学生的学习。

既然数学思想与数学方法有区别，那么它们之间是什么关系呢？从数学的实际发展来看，数学思想和数学方法是互为基础、交错发展的关系。人们在生活、生产活动以及数学研究过程中认识到的数学知识，按一定系统经过数学工作者的处理，形成数学教材的数学知识以方便学生学习，所以实际生活中的数学知识的发展结构与数学教材中的数学知识结构是有区别的。在实际生活中，数学发展遵循以下两种发展轨迹。一种是从个别的数学方法逐渐归纳、发展成一定的数学思想的轨迹。例如，通过数学的发展史可以知道，代数的思想就是人们在具体的各种符号代数的过程中体会到符号代数的优点，逐步形成了当今统一的以字母代替数字研究数学的思想，再发展成以字母代替数学研究对象的过程，从而形成了以字母代替各种研究内容为特征的特有的数学风景线。另一种是通过一定的数学实例，感悟形成一定的数学思想，再以这种数学思想指导以后的数学研究，进而找到很多具体的数学方法的发展轨迹。例如，以笛卡儿坐标系为手段的数形结合的思想，使人们找到了解方程的新方法。

从数学理论来看数学思想和数学方法的关系，数学思想是数学方法的基础，即数学思想是第一位的，数学方法是第二位的。例如，人们将实际生活中的数学知识总结、归纳成一定的数学理论时，总是先强调数学思想，再强调数学方法，这种观点在很多数学理论书籍中都有体现。而从数学教学中看数学思想和数学方法的关系，学生首先接触的具体内容是数学方法，然后体会并形成一定的数学思想，从学生认识的角度看，数学方法是第一位的，数学思想是第二位的。数学思想较之数学方法是抽象的，学生只有在许多具体的数学方法中才能更深刻地体会到有关的数学思想。

总之，严格地讲，数学思想与数学方法是有区别的，但这种区别不是绝对的，只强调数学中某些观念性的内容时可以称之为数学思想，只强调数学中某些操作性的内容时可以称之为数学方法，同时强调数学中某些观念性和操作性内容时可以称之为数学的思想方法。教师要想促使学生更好地内化数学思想和数学方法，所采用的教学方法应该是不同的。最起码的前提是，教师应该知道这些区别，并了解它们之间的关系，才能有利于指导自己在数学教学中客观地发展学生对数学思想和数学方法的认识，提高自己的数学教学质量。

（作者单位：永州市冷水滩区教科中心）