一次函数错解分类剖析

一次函数是初中数学中的重要内容，同学们在初学一次函数时，由于对其概念、性质理解不透，常常会出现各种各样的错误。为帮助同学们学好这部分内容，下面对一些常见错误分类剖析如下。

一、概念理解不清出错

例1 已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=-1；④y=3x2+7；

⑤y=x-5，其中y是关于x的一次函数的是（ ）

A.①③④⑤ B.②③⑤ C.①②⑤ D.②⑤

错解 选“B”或“D”。

剖析 形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，其中k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。

正解 观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知答案选C。

二、忽视限制条件出错

例2 已知函数y=（m-3）x-7是一次函数，则m=________。

错解 由m-2=1，解得m=±3。所以所求m的值为m=3或m=-3。

剖析 上述错误忽视了一次函数y=kx+b中要求k≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x轴的一条直线，其直线上任一点的纵坐标都为-7，是一个常函数，而非一次函数。

正解 由m-2=1，解得m=±3。当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、坐标系中表示线段出错

例3 若一次函数y=kx+3的图像与两坐标轴围成的三角形的面积是9，则函数的解析式为________。

错解 由y=kx+3，y=0。解得x=-。所以×（-）×3=9，解得k=-。

所以 所求函数的解析式为y=-x+3。

剖析 在坐标系中表示线段的长度时一定要取点的坐标的绝对值。x=-表示函数图像与x轴交点的横坐标，当用-去表示直角三角形的一条边（线段）时，则需要对-取绝对值，否则会漏掉一个解。

正解 由y=kx+3，y=0。解得x=-。所以×-×3=9，解得k=±。

所以 所求函数的解析式为y=x+3或y=-x+3。

四、函数图像与直线关系混淆出错

例4 已知直线y=mx-5m+4不经过第四象限，则m的取值范围是______。

错解 由题设可知，直线过一、二、三象限或一、三象限，

所以m>0，-5m+4≥0。解得0

剖析 一次函数的图像是直线，但直线并不一定是一次函数的图像。本题题设中的直线就没有说明它一定是一次函数的图像，因此，直线y=mx-5m+4，当m=0时，y=4，其图像也不经过第四象限，所以m=0也符合题设条件。上述解法正是忽视了直线y=b（b>0）的图像不经过第四象限这一情况而导致出错。

正解 由题设可知，直线过一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤，即所求m的取值范围是0≤m≤。

五、思考问题不全面出错

例5 已知一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y的取值范围为1≤y≤9，则b2-k3的值等于_________。

错解 由题意知，当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9。

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析 上面的解法只考虑了y随x的增大而增大的情形，由于题设中并没有告诉k的取值范围，这说明k的值可为正也可为负，因此，y也可随x的增大而减小，上面的解法正是没有全面考虑到这一点而导致出现漏解。

正解 由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因为当x=-3时，y=9；当x=1时，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2b=3，所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值为41或17。