数学课中的“依样画葫芦”

【摘要】 学生在学习四则运算的过程中，不明白为什么要先乘除后加减，而是模仿老师的做法，依样画葫芦. 本文主要以“混合运算”为例，分析先乘除后加减的原因，并设计教学环节由加到乘，让学生体会先乘除后加减背后的道理.

【关键词】 混合运算；加法；乘法

北师大版教材二年级下册第二单元学习混合运算教学中，老师教学过程中有这样一个片段.

师：今天老师带领大家去超市，从图中你看到了什么信息？

生：看到了面包每袋3元，饮料每瓶6元.

师：你能提出哪些数学问题.

生：买一个面包和一瓶饮料一共多少钱？

师：小熊买了三个面包和一瓶饮料，你能算一算它一共花了多少钱吗？

生：3 × 3 = 9（元），9 + 6 = 15（元）.

师：你说得真好，还有没有别的算法呢？

生：我用的是3 × 3 + 6 = 15（元）.

师：你用的是我们以前学过的综合算式，谁能说一说3 × 3代表什么含义.

生：代表3个面包的价钱.

师：你们看老师这样列式，6 + 3 × 3 = ？你知道结果是多少吗？请你尝试解答.

在教师巡视的过程中，发现很多学生不清楚运算规律，先用6+3=9，再用9×3=27元.

师：老师看到很多同学得到27元，这个结果对吗？

生：不对，应该是15元.

师：我们做混合运算的时候应该先做乘除，后做加减. 6 + 3 = 9在这道题目中是没有意义的. 我们应该先算3个面包的价钱，然后加上一瓶水的价钱.

师：下面请看几个算式，自己说一说，应该先算什么再算什么？

4 + 4 × 3，5 × 4 + 8，9 × 2 + 4

这是教师在教学“混合运算”一节课中的一个片段. 教师采用了去超市购物的情境，进行导入. 教师出示算式6 + 3 × 3试图用情境来说明先乘后加的道理. 先算三个面包的价钱，再算三个面包和一瓶水一共花的价钱. 随后教师总结，当加法和乘法在一起的时候，我们应当先算乘法再算加法. 然后通过练习进行巩固. 在练习中，学生都能说出先算乘法再算加法. 但是学生没有真正明白为什么要先算乘再算加，而是在模仿老师的算法，依样画葫芦.

在教混合运算之前，教师往往分析的是学生已经学习过的知识，而缺乏对后面要学习知识的分析，缺少关联性. 四则运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一. 任何学科规律归结为公式后，基本上都要用到四则运算来计算.

混合运算是人类在生产生活中发展起来的，经历了由简单到复杂，由具象到抽象的过程，其中蕴含着数学发生发展的过程. 因此学生学习混合运算时，不仅要直接得到算法，而且要体会到算法背后蕴含的道理.

一、学生学习混合运算的难点

分析学生学习混合运算的难点，才能对症下药，进行有效的教学. 在现在课堂的教学中，教师认为难点在于混合运算的书写，因此将重点定在如何书写上，如等号的位置，运算结果的位置，等等. 这些是混合运算的难点吗，混合运算的难点到底在哪？

学生对于3 × 3 + 6 = 15这样的题目错误率很低，而对于6 + 3 × 3错误率就很高了. 两个题目都是有加有乘，为什么学生在做第二道题目时容易出错呢. 原因在于第二道题目与以前学习过的知识不一样，不是按照由左到右的顺序进行计算. 需要改变运算顺序，先算乘再算加，这是学生认知中的一大飞跃. 学生出问题的地方就是教学的难点. 所以本节课的难点应该是帮助学生解决为什么先乘除后加减.

二、先乘除后加减的的原因

加法表示的含义是将两个量合并起来. 乘法的含义是同数连加，也就是几个相同加数的和. 减法的含义有两种，一是从整体中拿走一部分后还剩多少. 二是两个量比较，多出的部分是多少. 除法也有两种含义，一是平均分，二是包含除. 包含除其实就是同数连减，用12 ÷ 4 = 3，其实就是在求12里面有几个4，用12 - 4 - 4 - 4 = 0发现可以减去三个，所以结果是3. 通过以上分析，乘法和除法是建立在加法和减法之上的运算，因此称加减法为低级运算，也可以说一级运算，乘除法为高级运算，也可以说是二级运算.

6 + 3 × 3，如果我们想按照从左到右的顺序依次计算，我们就需要将3 × 3进行降级. 3 × 3原本的形式应该是3 + 3 + 3，所以6 + 3 × 3的基本形式是6 + 3 + 3 + 3. 写成基本形式后，我们就可以按照从左到右的顺序依次进行计算了.

三、将先乘除后加减的理论渗透到课堂中

教学中，因为二年级的学生年龄较小，不可能告诉他们先将高级运算转化为低级运算，然后按照从左到右的顺序依次计算. 如何将道理渗透到课堂之中呢？可以在课堂中设计环节，让学生体会由加到乘的过程. 课堂中老师出示题目：面包每个3元，水每瓶6元，买3个面包和一瓶水一共多少钱？由于学生刚学完乘法，所以大部分学生直接算出3 × 3 = 9（元），没有学生用3 + 3 + 3 = 9（元）的方法，学生认为这种方法比较麻烦. 这样就会给6 + 3 × 3带来问题，无法让学生经历乘是由加转化而来的过程. 所以在设计时，教师可以先出示题目：买2个面包和一瓶水一共花费多少钱. 这样就会出现各种各样的结果. 抓住学生生成6 + 3 + 3 = 12（元）问学生还可以写成什么形式，6 + 3 × 2，先算6 + 3还是先算3 × 2，这时学生就会明白先算3 × 2，因为那是两个面包的价钱. 这个过程的设计是让学生体会由加到乘的过程，从而体会，乘法比加法高一级，需要降级后再按照从左到右的顺序依次计算，所以要先乘后加.

义务教育《数学课程标准（2011年版）》课程的基本理念提出，课程内容反映社会的需要、数学的特点，要符合学生认知规律. 它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法. 仅仅告诉学生结论，没有让学生经历思考的过程，就会导致学生的数学学习是在模仿老师，依样画葫芦，而非真正的思考.