如何用同一法做几何证明题

在整个中学数学学习过程中，几何证明题是较难逾越的一个重点和难点，而几何证明题的重点突破口又是题目的分析方法，所以掌握一定的几何证明题的分析方法显得尤为重要。中学几何题证明方法一般分为直接证明和间接证明两种，有些题目如果直接去证明，不但关系复杂，而且思路繁琐。在应试的过程中很难在较短的时间内解决问题，但当你换一种思路，用间接的方法去考虑，往往能够达到意想不到的效果。间接的证明方法一般又分为两种：一种是反证法，另一种称为同一法（又称统一法），两种方法各不相同。反证法在教科书中有较为完整的学习体系，而同一法却没有给出明确概念和用法，但教科书中的例题却能经常用到同一法，现就同一法的用法做简单概括说明。

要想用好同一法，就必须先对同一法有较为明确的概念区分，虽然学界对同一法一直存在争议，但王学贤老师曾用集合的观点很好地解释过同一法的实质，大致内容是：每一个数学命题都是由条件和结论两部分构成的，一般的命题可以描述为如果（若）某些对象具有某种性质a，那么（则）它们就具有某种性质b，在这里，条件是“某些对象具有性质a”，结论是“它们具有性质b”，如果把具有性质a的对象集合记作A，把具有性质b的对象集合记作B，把某些对象中任一对象记作x，则x∈A。若原命题是真命题，则x∈B。因此，命题用集合描述就是：A是B的子集，即A B。同样，其逆命题就是B A。显然A不一定等于B，即原命题成立，逆命题不一定成立，但当集合A仅含有一个元素m，集合B也仅含有一个元素n时，A=B，此时，原命题成立，其逆命题也必然成立。因此，得到下述基本原理：如果一个命题的条件和结论所指的对象都唯一存在时，则原命题、逆命题等价，这个基本原理叫做同一原理。例如“等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线”就符合同一原理。当一个命题符合同一原理，且直接证明比较困难时，可转而证明它的逆命题，这种证明方法就是同一法。具体的做法是：欲让某个图形A具有某种性质B时，先构造一个具有性质B的图形A′，然后证明图形A′就是图形A，实质上是用证明逆命题来间接证明原命题的正确。下面通过几个例题更加清楚地来认识同一法。

例1：如图1所示，E是正方形ABCD内部的一点，∠ECD=∠EDC=15°。求证：EAB是等边三角形。

分析：因为在正方形ABCD内部使得∠ECD=∠EDC=15°的点唯一存在。同样，在正方形ABCD内部以AB为边的等边三角形也唯一存在，因此，此题符合同一原理，可以用同一法来证明。

证明：以AB为边，在正方形ABCD内作等边三角形E′AB，连接E′C、E′D。

E′A=E′B=AB=DA=CB。

∠CBE′=90°-60°=30°，∠BCE′=（180°-30°）÷2=75°。

∠E′CD=90°-75°=15°。

由此可见，E′和E实际上是同一点，故EAB是等边三角形。

例2：如果一条直线截三角形的两边所得的线段对应成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

分析：如图2所示，在ABC中，若AB边上D点确

定，则在AC边上满足 的E点唯一确定，从而DE

也唯一确定，另一方面，过D点平行于BC边的平行线唯一存在，因此此题符合同一原理，可先作DE′∥BC，然后证明DE′和DE重合即可。

证明：过D作DE′∥BC，交AC于E′。

在ABC中，DE′∥BC， 。

又 ， ，则 。

即 ，AE′=AE。

故E′和E重合，DE′和DE重合。

DE′∥BC，DE∥BC。

例3：如图3所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=AB，F是CD的中点。求证：∠DAB的平分线过点F。

分析：只要连接AF，证明AF平分∠DAB，或作∠DAB的平分线于DC相交于点F，证明F是DC的中点即可。

证明：连接AF并延长与BC的延长线相交于点E。

梯形ABCD，AD∥BC，∠D=∠ECF。

又∠AFD=∠EFC，DF=CF。ADF≌ECF，∠E=∠DAF，AD=CE，即BE=BC+CE=BC+AD。

又AD+BC=AB。AB=BE，∠E=∠BAE，∠DAF=∠BAE，即AE平分∠BAD。

又AE过F点，∠DAB的平分线过点F。

例4：如图4所示，在三角形ABC中，M为线段AB

的中点，D为AB上的另一点，连接CD，N为CD的中点，P为BC的中点，连接MN，Q为MN的中点，试证明直线PQ平分线段AD。

分析：因为过P、Q两点的直线与AD的交点和AD的中点都唯一存在，所以题目符合同一原理，若直接证明，因关系复杂难以证明，因此可采用同一法证明，欲证直线PQ平分AD，可先取AD的中点为E，然后证明P、Q、E三点共线即可。

证明：取AD的中点为E，连接NE、PM、NP。

AE=ED，DN=NC。

EN∥AC且EN= AC。

同理可证，PM∥AC且PM= AC。

EN∥PM且EN=PM，四边形PNEM为平行四边形。

连结PE，因为Q是MN的中点，所以对角线PE必过Q点，即P、Q、E三点共线。

直接PQ必平分AC。

通过上面几个例题中可以看出，要想能够正确快捷地利用同一法解决几何题，首先要能够快速地判断出题目是否符合同一原理，只有在符合同一原理的情况下才能够运用此法。实际上，同一法的根据是原命题和逆命题等价，通过证明逆命题正确来判定原命题正确，这一点要与反证法注意区分开。任何命题的原命题与逆否命题都是等价的，而反证法是通过证明逆命题的正确来判断原命题的正确，所以从理论上讲，任何命题都可以用反证法来证，能用同一法证明的题目都可用反证法证，而同一法只适用于一些特殊命题的证明。