多元变量的最值探讨

最值问题是近几年高考和竞赛中的热点问题。其中有一类最值问题因为变量多，结构式复杂，相互之间的制约关系较难把握，导致处理难度大。笔者结合教学实践略作探讨，供大家参考。

一、转化为线性规划问题

已知ABC的三边长a,b,c满足b+2c≤3a,c+2a≤3b，则ba的取值范围为。

解：通过b+2c≤3a，

c+2a≤3b，

a+b＞c，

a+c＞b，

b+c＞a求得可行域如图。

因此ba=b－0a－0可以看做是点(a，b)到原点连线的斜率，所以34＜ba＜53。

点评：有些代数式子，从形的角度可以看做斜率，距离，面积等，利用数形结合思想，使问题迎刃而解。

二、构造方程

已知实数a,b,c满足a+b+c=9，ab+ac+bc=24，则b的取值范围是。

解：将c=9-a-b代入ab+ac+bc=24，并化简，构造关于a的一元二次方程：a2+a(b－9)+b2－9b+24=0，该方程有解，则Δ=(b－9)2－4(b2－9b+24)≥0，解得1≤b≤5。

点评：本题牵涉a,b,c三个变量，通过设立主元，其他看成系数，构造一元二次方程，运用根的判别式求解。

三、转化为函数问题

1.已知x，y，z∈R,且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是。

解：(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)=1，

xy+yz+xz=xy+z(1－z)=－1。

xy=z(z－1)－1。

则xyz=z［z(z－1)－1］=z3－z2－z。

(x+y)2－4xy=(x－y)2≥0，

(1－z)2－4［z(z－1)－1］≥0,即－1≤z≤53。

记f(z)=z3－z2－z，则f′(z)=3z2－2z－1=(3z+1)(z－1)。

f(z)在(-1，-13）单调递增，(-13，1）单调递减，(1，53）单调递增。

f(－13)=527，f(53)=527，

f(z)的最大值为527。

点评：本题变量虽多，但巧妙利用两个等式之间的关系，将xy从整体上消去，从而构造出函数，利用函数求最值是中学解最值问题的一个常规手段。

四、利用基本不等式

1.已知a,b,c均为正实数，记M=max1ac+b,1a+bc,ab+c，则M的最小值为。

解：1a+bc=c(1ac+b)，当c≥1时，三个量中的最大值一定为1a+bc或ab+c。

M≥1a+bc≥1a+b,M≥ab+c≥ab+1。两式相乘得：

M2≥(1a+b)(ab+1)=1a+a+1b+b≥4。M≥2。

当0＜c≤1时，三个量中的最大值一定为1ac+b或ab+c。

M≥1ac+b,M≥ab+c。两式相乘得：M2≥(1ac+b)(ab+c)=1a+a+1bc+bc≥4。

M≥2，综上M的最小值为2。

点评：本题条件太单一，若一一比较三个量的大小显然难以入手，故运用整体思想，利用三个量之间的整体关系借助max的定义处理。同时利用基本不等式求最值的问题也是高考中的一个热点和难点。

综上可知，多元变量的最值问题，内涵丰富，解法灵活，涉及知识面广，强化此类问题的训练和求解策略，对于培养学生的创造性思维有很大帮助。

（作者单位：江苏省泗洪中学）