高中物理极值问题的常见解法例析

求解极值问题是中学物理的一种常见题型，它对考查学生的知识掌握情况，数学知识的迁移能力，分析推理和应用能力有较大的帮助，也是历年高考的一大热点题型.通过对大量这类题目解法的分析，不难发现，求解极值的常见解法可概括为物理法、代数法和几何法.下面我就此举例进行说明.

一、物理法

即通过对物理过程的分析，应用相关的物理概念和物理规律进行定性的逻辑推理，找出物理量具有极值的隐含条件，根据条件列方程求解.常见的有以下几种类型：

1.当a=0时，速度具有最大值.

2.约束力（如接触面的弹力，绳的张力）为0，某些物理量达到极值.

3.当速度为0时，位移达到最大值.

4.相对速度为0时，某些物理量达到极值.

5.当感应电动势e=0时，通过回路的磁通量的绝对值出现极值.

6.在振荡电路中，当i=0时，电量有极值；当q=0时，电流有极值等.

例1.空间存在充分大的正交的水平匀强电场（场强为E）和匀强磁场（强度为B），足够长的绝缘直杆水平放置，与电场平行，如图1所示，一带正电的圆环（质量为m，电量为q）套在杆上，从静止开始运动，若杆与环之间的摩擦因数为μ，计算环在运动过程中的最大加速度和最大速度.

图2图3

分析与解：小环由静止运动后，做变加速运动，受力如图2所示，物理关系可表示为：

vF=BqvN=mg-Bqvf=μNa=（Eq-f）/m

当约束力N=0时，有最大加速度a=Eq/m，此后小环继续加速，受力如图３所示，物理关系可表示为：

vF=BqvN=F-mgf=μNa=（Eq-f）/m

当加速度a=0时，速度达到最大.

由μ（Bqv-mg）=Eq.得：v=+

例2.已知：如图所示，LC振荡电路中电容器极板1上的电量随时间变化的曲线如图示，则：

A.a、c两时刻电路中电流最大，方向相同

B.a、c两时刻电路中电流最大，方向相反

C.b、d两时刻电路中电流最大，方向相同

D.b、d两时刻电路中电流最大，方向相反

分析与解：在振荡电路中，当q=0时，电流最大，所以A、B错，并且b、d两时刻的放电过程相反，b为正向放电刚结束，d为反向放电刚结束，故电流方向相反，D正确.

二、代数法

代数法指的是通过利用物理规律列出方程，求出某个物理量的数学表达式（即待求量关于自变量的一个函数解析式），然后利用相关的数学知识求出它的极值.常用到的代数知识包括：①定积求和、定和求积；②一元二次方程；③三角函数，等等.

例3.如图所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，其质量为m，带电量为＋q，小球可在棒上滑动，将此棒竖直放在互相垂直，且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度为E，磁感应强度为B，小球与棒的动摩擦因数为μ，求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度？（设小球电量不变）

由牛顿第二定律得：

竖直方向：mg-f=ma，

水平方向：N=Eq+Bqv，f=μN

a=

当v=0时，a==g-；

当a=0时，v=-.

例4.如图，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度.已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻不计.

解析：ab沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg，支持力F、摩擦力F和安培力F，如图所示，ab由静止开始下滑后，将是vEIFa，所以这是个变加速过程，当加速度减到a=0时，其速度即增到最大v=v，此时必将处于平衡状态，以后将以v匀速下滑.

E=BLv① I=E/R②F=BIL③

对ab所受的力正交分解，F=mgcosθ F=μmgcosθ

由①②③可得F=.

以ab为研究对象，根据牛顿第二定律应有：mgsinθ-μmgcosθ-=ma

ab做加速度减小的变加速运动，当a=0时速度达最大.

因此，ab达到v时应有：mgsinθ-μmgcosθ-=0④

由④式可解得v=

三、几何法

几何法是指通过几何知识与物理规律的有机结合，来帮助解题，常用的几何知识有物理图像，矢量三角形，几何关系等.

例5.一质量为m的滑块（可视为质点），以速度v滑上静止小车B的左端，小车质量为M，滑块与小车之间的动摩擦因数为μ，水平面光滑，欲使A不至于从B上滑下，小车至少多长？

分析与解：作出滑块A与小车B的v-t图，由图上不难看出，小车长L至少应等于图中的阴影三角形的面积，

L=vt ①

由动量守恒得：mv=（m+M）v ②

对B应用动量定理得：μmgt=Mv-0 ③

由①②③解得：L=

例6.一带正电的小球质量为m，电量为q，从O点以与竖直方向成θ=60°的初速v开始运动，欲使小球沿v方向作直线运动，所加匀强电场场强E至少多大？沿何方向？

分析与解：小球能沿v方向作直线运动，其合外力必沿v方向，小球受重力和电场力作用，作出力的合成平行四边形.

由图易知，只有当电场力F与合外力方向垂直时，才有最小值F=Eq=mgsinθ

E==

此时场强沿与水平方向成60°斜向上.

例7.一带电粒子，质量为m，电量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的一点射入图中的第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的一点以垂直于x轴的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面的磁感应强度为B的匀强磁场，若此磁场只分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.（不及粒子重力）

分析与解：质点在磁场中，受洛伦兹力作用，作匀速圆周运动，半径为R=，根据题意质点在磁场区域中的轨道是半径为R的圆弧（实线所示），这段圆弧与入射，出射方向相切于M、N两点，O点为轨迹圆的圆心，OM=ON=R，由几何知识得MN=R.

根据题意，M、N点应在所求磁场区域的边界上.

由几何知识，在通过M、N两点的所有圆周中，最小的一个是以M、N连线为直径的圆周，所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径r=MN=，所求磁场如图中的虚线所示.

通过以上例题分析了高中物理问题中求解极值的几种常见解法，教师在教学过程中如能有目的、有计划地对学生加强这方面的训练和总结，对培养学生解综合性问题，锻炼逻辑推理能力将大有益处.

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