高考江西卷压轴题的简解及推广

题 已知函数f(x)=11+x+11+a+axax+8,x∈(0,+∞).

(1)当a=8时，求f(x)的单调区间；

(2)对任意正数a，证明1

分析：本题第(1)问不难，可直接求导得增区间(0，1］及减区间［1，+∞).本题难点在第(2)问，且标答在证f(x)>1时用两个正数的算术平均值不小于几何平均值的性质来证，体现了考试不超纲的知识要求，但在证f(x)

在证1

先证f(x)>1.由结论①得

f(x)>11+x+11+a+axax+8=\=a2x2+ax2+a2x+8x+8a+8+(a2x+ax2+8)+3axa2x2+ax2+a2x+8x+8a+8+9ax,由a2x+ax2+8≥33a2x•ax2•8=6ax得上式右边≥1，故f(x )>1.

再证f(x)0,q=a>0,r=8ax>0且pqr=8,则f(x)

对该题进一步探究发现，将8改为2+5，则更靠近pqr的下界，故可将本题第(2)问的右半不等式进一步推广如下：

推广1 若正数x1、x2、x3满足x1x2x3≥2+5，则11+x1+11+x2+11+x3

推广2 若正数xk(k=1、2、…、n;n∈N，且n≥3)，满足x1x2…xn≥25,则

∑nk=111+xk

推广3 构造至少有4项的数列{an}满足：(1-a4)4a34=165+2且(1-an+1)n+1ann+1=2(1-an)nann(an∈(0，1))，则对于正数xk(k=1、2、…、n,n∈N,且n≥4)，若x1x2…xn≥(2+5)a4a5…an,则有∑nk=111+xk

推广1的证明分如下两步：(1)当x1x2x3=2+5时，设x1≥x2≥x3，则x1≥32+5=1+52 .由前面证明f(x)

(2)当x1x2x3>2+5时，设x1x2x3=(2+5)a(a>1)，则x1x2(x3a)=2+5,由(1)知：11+x1+11+x2+11+x3a

综合(1)、(2)可得推广1成立.

推广2的证明用数学归纳法证明如下：

1)当n=3时，由推广1知命题成立.

2)假设n=k时命题成立，下证n=k+1时命题成立，由前结论②及归纳假设有：

∑k+1i=111+xi=11+x1+11+x2+

∑k+1i=311+xi

为了证明推广3，再给出第三个结论，即

结论③ 设xi,xj均为正项数列{xn}中的两个最小项，则xixj≤nx1x2…xn.由(xixj)2n=(xixj)(xn-1ixn-1j)≤xixj•∏nk≠ixk•∏nk≠jxk=(x1x2…xn)2 ,两边开2n次方即得结论③成立.

下面用数学归纳法证明当x1x2…xn=(2+5)a4a5…an时，推广3成立的情形：

i)当n=4时，x1x2x3x4=(2+5)a4,则x1x2x3x4a4=2+5,由推广1知11+x1+11+x2+11+x3x4a4

11+x3x4a4,即证x3+x4≥1-a4a4x3x4.由结论③及条件x1x2x3x4=(2+5)a4得x3x4≤4(2+5)a4,故1-a4a4x3x4≤1-a4a4•4(2+5)a4 x3x4=2x3x4≤x3+x4,从

而∑4i=111+xi

ii)假设n=k时命题成立，下证n=k+1时，命题成立，由题设条件x1x2…xk+1= (2+5)a4a5…ak+1，且设xk、xk+1是x1、x2、…、xk+1中最小两个数，则x1x2…xk-1•xkxk+1ak+1=(2+5)a4a5…ak,又由归纳假设得

∑k-1i=111+xi+11+xkxk+1ak+1

11+xk+xk+1+xkxk+1+1,又只要证11+xk+xk+1+xkxk+1≤11+xkxk+1ak+1，即(1-ak+1ak+1)xkxk+1≤xk+xk+1，由结论③知(1-ak+1ak+1)xkxk+1≤(1-ak+1ak+1)•

k+1(2+5)a4a5…ak+1•xkxk +1=

k+1(1-ak+1)k+1ak+1k+1(2+5)a4a5…ak+1•

xkxk+1(*)，由所构造数列的条件易得(1-ak+1)k+1akk+1=2ak•(1-ak)kak-1k=22akak-1•(1-ak-1)k-1ak-2k-1=…=(1-a4)4•2k-3a44a5a6…ak.

故k+1(1-ak+1)k+1ak+1k+1(2+5)a4a5…ak+1=k+1(1-a4)42k-3a44a4a5…ak+1(2+5)a4a5…ak+1=k+1(1-a4)4a34•2k-3(2+5)=2 (**)

由(*)(**)可得1-ak+1ak+1xkxk+1≤2xkxk+1≤xk+xk+1,∑k+1i=111+xi

由i)、ii)可得：当x1x2…xn=(2+5)•a4a5…an时，∑4i=111+xi

再用推广1的第(2)步的方法同样可证x1x2…xn>(2+5)a4a5…an时命题成立.从而推广3成立.