在立体图形中透视平面轨迹问题

为引导中学数学教学关注教学本质，减少程序化的大运动量训练，切实减轻学生的学业负担，高考命题一般从以下三方面进行设计：考查数学主体内容，体现数学素质的试题；反映数形运动变化的试题；研究型、探索型、开放型的试题.在立体几何与解析几何的知识交汇处设计的运动变化型试题，立意新颖，符合高考命题意图.本文对各地高考试题(或模拟试题)的相关问题进行整理，以利学生高考复习.

一、直线型轨迹

例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点M是棱CD的中点，点O是侧面AA1D1D的中心，若点P在侧面B1C及其边界上运动，并且保持OPAM，则动点P的轨迹是.

分析：先探索特殊点，若点P在面BB1C1C中心，若点P在C1点、B1点等，这样可大致知点P须在线段BB1上.以下为证明：将O，P分别投影到平面ABCD上，则O的投影O1为AD中点，P的投影P1在边BC上，因为OPAM，故由线面垂直知O1P1AM，易知当P1与B点重合时，O1P1AM，即P在平面ABCD内的射影为B，于是点P的轨迹为线段BB1.

二、圆锥曲线型轨迹

例2 设异面直线a,b成90°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在直线a,b上移动，则AB的中点P的轨迹所在的曲线为().

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

分析1：(几何法)首先AB中点P的轨迹必在EF中垂面上(易证APC≌BPD)，CD=PC+PD=23，在直角COD中，斜边上的中线OP=12CD= 3，所以AB的中点P的轨迹为以O为圆心以3为半径的圆，故选A.

分析2：(构造法)构造一个如图3的长方体，已知EF=2，A，B两点分别在直线EA1和FB1上运动，且AB=4.建立如图3的空间直角坐标系，则A(a,0,2),B(0,c,0),设P(x,y, z)，所以2x=a

2y=b

z=1(*)因为z=1，所以点P的轨迹在EF中垂面上，又AB2=a2+b2+4=16,将(*)式代入上式得x2+y2=3,故选A.

分析3：(向量法)AB=AE+EF+FB，两边平方得|AE|2+|FB|2=12(*)，又OP=12(EA+FB)，两边平方结合(*)式得|OP|2=3，所以AB的中点P的轨迹为以O为圆心以3为半径的圆.故选A.

分析4：(平面坐标系法)在异面直线a,b中垂面内，以EF中点O为坐标原点，以∠COD的角平分线为x轴建立直角坐标系(如图5).则C(a,a)，D(b,-b)，设P(x,y)，CD2=(a-b)2+(a+b)2=(23)2=12(1),a+b=2x,a-b=2y，代入(1)式得：x2+y2=3.故选A.

变式 设异面直线a,b成60°角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在直线a,b上移动，则AB的中点P的轨迹所在的曲线为().

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

分析：在异面直线a,b中垂面内，以EF中点O为坐标原点，以∠COD的角平分线为x轴建立直角坐标系(如图6).C(a,33a),D(b,

-33b),P(x,y),CD2=(a-b)2+(33a+33b)2=(23)2=12(1),a+b=2x,33a-33b=2y，代入(1)式得x29+y2=1①.于是得到的是椭圆①夹在∠COD内的弧，在另外的情形中，同样可以得到椭圆其余的弧，故选B.

拓展 当异面直线a,b成θ(θ≠π2)角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在直线a,b上移动，则AB的中点P的轨迹所在的曲线都为椭圆.

三、球面

例3 已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，且AP=2，则动点P的轨迹的长度是().

A.32 B.62 C.3π2 D.3π

分析：因AP=2，故点P不可能在过A的三个表面上(除顶点)，若P在A1B1C1D1上，则A1P=AP2-AA12=1，故P在平面A1B1C1D1内的轨迹是以A1为圆心以1为半径的圆在平面A1B1C1D1内的一部分，即14圆周长为π2.同理点P在面B1C及CD1内的轨迹长都为π2，故选C.我们不难发现实质上是以A为球心，以2为半径的球被三个平面所截得的弧长(如图7).

变式1 已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，且AP=233，则动点P的轨迹的长度是().

A.23π3 B.53π6 C.23π D.43π

分析：当P点在面AD1内时，因1

变式2 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，P是底面A1C1内的一个动点，Q为棱AA1上的一个动点，且QP=2，则PQ中点M的轨迹与共一顶点A1的三个面所围成的几何体的体积为().

A.224π B.212π C.23π D.26π

分析：易知QPA1为直角三角形，所以A1M=|PQ|2=22，所以M的轨迹是以A1为球心，22为半径的球，而与共一顶点A1的三个面所围成的几何体的体积为球体积的18，故选A.

上述例题在立体几何和解析几何知识交汇点上命题，立意较新颖，重视知识的交叉、渗透，强化知识的横向联系，突出对能力的考察，题目构思精妙，富有思考性，培养学生善于把空间图形转化为平面图形，以及平面图形作合理的变换想象成空间图形的能力，有利于培养学生综合运用知识的能力，也有利于培养学生的创新意识，使所学知识得以升华.

参考文献

［1］各地高考卷和模拟卷，其中例3的变式1是2007年全国高中数学联赛填空题第9题.