一个扩展的完全支付拍卖模型

摘要:完全支付拍卖模型(All-payAuctions)适合于分析奖金分配、政治运动、企业竞争、公共品捐赠、工作晋升、寻租、专利权竞赛以及寡头垄断定价(price-settingoligopoly)等一系列问题。文章在“对称的独立私人价值模型”(SymmetricIndependentPrivateValue,SIPV)的基础上,构建了一个扩展的完全支付拍卖模型,最后通过一个分配奖学金的例子,简要分析了在几种特殊情况下均衡策略的一些特点。

关键词:完全支付拍卖;多物品密封拍卖

一、引言

劳伦斯•弗里德曼(LawrenceFriedman)于1956年提出一个求解一级价格密封投标中的最优竞价策略的模型。虽然他采用的是基于决策理论的运筹学分析方法,但他已经意识到应用博弈理论分析拍卖问题的广阔前景。这篇论文被认为是有关拍卖经济理论的第一篇开创性文献,并被视为博弈理论拍卖模型的前兆。而具有里程碑意义的开创性研究是由威廉•维克里(WilliamVickrey)于20世纪60年代初期做出的。他于1961年发表了《反投机、拍卖与竞争性密封投标》。他在文中首次运用博弈论处理了单物品的拍卖问题,并总结出了著名的“收入等价定理”(RevenueEquivalenceTheorem,RET),引导出了拍卖理论的基本研究方法。1960年,维克里出版了《拍卖与竞价博弈》一书。在书中他首次将单个物品的拍卖推广到多个相同物品的拍卖。他针对每个竞买人最多购买一个单位物品(单位需求)的简单情形提出并简要分析了几种同步与序贯拍卖机制。维克里的上述两篇文献形成了拍卖理论的基本框架,通常被称为“对称的独立私人价值模型”(SymmetricIndependentPrivateValue,SIPV)。模型包括以下假设:所有竞买人和卖主都是风险中性的;所有竞买人是对称的,其估价服从同一概率分布;拍卖品具有独立的私人价值。换言之,每个竞买人仅凭所掌握的私人信息就可以精确地对拍卖品估价,即使知道了所有其他人的估价信息也不会改变自己的估价。四是最终支付额仅仅取决于报价额。五是竞买人之间是非合作博弈。六是卖主就是拍卖人,不存在交易费用。上述假定在现实中未必完全满足,但它们是拍卖绩效分析的理想基准。

20世纪70年代以来,拍卖理论的发展迎来了高潮,这一时期的代表人物主要有Milgrom,Weber,Maskin,Samuelson,Myerson,Riley。总体来说,拍卖理论发展脉络从维克里开始(1961,1962),便主要分为了以下两个方向。在单个物品拍卖的框架下,人们逐步将以下因素引入模型:风险厌恶的偏好,共同或关联价值,类型分布的非对称性,参与者间的合谋行为,以及拍卖人与竞买人勾结起来损害卖主利益的败德行为等等;在多个物品拍卖的框架下,大致又可分为以下两种情况:一是所有拍卖品完全相同,而买方可能最多需要一件(单位需求)这样的物品,或者需要购买多件。三是这些拍卖品不完全一样,但拍卖品之间有一定的联系。买方对这些物品的支付意愿因物品的组合而异。物品之间可能存在互补性或者替代性。

在常见的拍卖中,只有最后的胜出者才对标的物体支付竞价(Winner-payAuctions),其他投标人并不会为自己没有得到的商品付费。但理论上存在一种完全支付密封拍卖模型(All-payAuctions)。在完全支付拍卖中,不论标的物最终归谁所有,全部参与拍卖的投标人都要支付,支付的数量等于其投标价格。在现实生活中,完全支付拍卖最典型的例子就是慈善拍卖。此外,如果投标人是风险规避的(Matthews,1983)或者是有预算约束的(LaffontandRobert,1996),那么即使拍卖不是慈善性的,卖方最优的拍卖机制也具有这样的特征。但除了慈善拍卖之外,以纯粹拍卖形式出现的完全支付拍卖就很少了。尽管如此,可以模型化为全支付拍卖的活动却很多。对垄断给社会造成损失的再解释是完全信息条件下的一个早期例子。现在,我们在分析很多问题的时候都可以用完全支付拍卖进行建模。比如奖金分配、游说政府官员、政治运动、企业竞争、捐赠公共品、工作晋升、寻租、专利权竞赛、以及某些寡头垄断定价(price-settingoligopoly)等问题。然而,与拍卖理论中的其他研究方向相比,对完全支付拍卖的专门性研究相对较少,对它的讨论仅仅零碎地出现在基于单物品和多物品拍卖划分下的一些文献中。

基于上述原因,本文在第二部分建立了一个基于完全支付的基本拍卖模型。在模型中,包含多个投标者和多个标的物,满足“对称的独立私人价值模型(SIPV)”的假设。本文讨论的重点在于一类不考虑参与约束的较特殊的委托问题,并从委托人的角度讨论了该如何看待对人的激励方式。

二、模型

下面将构造一个完全支付下的多物品同时拍卖模型。在模型中,有如下4条基本假设:

(A1)有一个卖方拥有N件不可分割且具有顺序价值关系的物品,tK代表第K件物品的客观价值。其中t1≥t2≥...tN≥0,物品对卖方而言没有使用价值。

(A2)有N个投标者,他们对第K件物品具有独立的私人价值估计。记第K件物品对于投标者i的私人价值为UiK(θi,tK)=θitK,θi∈[0,θ]。θi是投标者i的私人信息,θi相互独立,i=1,2...N。即每个投标者只知道自己的估价,并且每位投标者的私人价值不受其他投标者估价的影响。

(A3)θi,i=1,2...N服从相同的连续分布。记分布函数为P(X),密度函数为p(x)。

(A4)卖方和投标者都是风险中性的参与人,各参与人之间不存在合谋行为。

以上假设对于每个参与人都是共同知识(common knowledge)。拍卖规则:投标者同时出价,按照从大到小的顺序将竞标价排列,S1≥S2≥......≥SN。投标者K代表出价排在第K名的投标者。将拍卖品作如下分配,投标者K对应获得客观价值排在第K位的标的物。那么,投标者K的效用为uK=θKtK-SK,K=1.2...N;拍卖方的效用为u0=SK。

有两点需要注意。首先,模型中假设投标者和标的物的数量相等,这个看似武断的假设实际上同时包含了标的物数量小于投标者数量的情况。在第四部分我们将一组标的物的客观价值看作满足顺序价值关系的控制变量,可以令某个或多个物品的客观价值为0,这样便包含了标的物数量小于投标者数量的情况。其次,当我们分析标的物数量小于投标者数量的情况时,未获得标的物的投标者依然要支付竞价,因此模型在本质上是一个完全支付拍卖模型。

三、模型求解

投标者的出价是其类型的函数S=S(θ)。投标者j的出价Sj低于投标者i的出价Si的概率为Prob(Sj (θj)

Si∈argmax{θitKC[Prob(Sj(θj)

根据贝叶斯纳什均衡的定义,在均衡中,类型为θ′的参与人将选择S′=S(θ′)而非S″=S(θ″);类型为θ′的参与人将选择S″而非S′。因此有如下两个不等式:

(θ′itK-S′)C[Prob(Sj(θj)

(θ′itK-S″)C[Prob(Sj(θj)

故S′(θ)=θtKCP(θ)N-K-1p(θ)[1-P(θ)]K-2[N-K-P(θ)(N-1)]②

因为Ω(P(θ))=tKCP(θ)N-K(1-P(θ))K-1③

=tKCP(θ)N-Kp(x)(1-P(θ))K-2[N-K-P(θ)(N-1)]

所以S(θ)=xdΩ(P(x))④

其中Ω(P(x))=tKCP(x)N-K(1-P(x))K-1,P(X)为随机变量θ的分布函数。对于投标者而言,如果θ=0,则意味着标的物对自己没有价值。因此,由S(θ=0)=0可以确定积分后面的常数为0。

通过以上过程,我们求出了投标者在完全支付密封价格拍卖模型中的均衡策略。在模型中,我们仅仅假设标的物的客观价值满足t1≥t2≥...tN≥0的顺序价值关系,因此模型可以是多物品拍卖也可以是单物品拍卖(t1=k>0,t2=t3=......=tN=0)。在多物品拍卖的情况下,物品可以是同质的(t1=t2=...=tN>0)也可以是异质的(t1>t2>...>tN≥0)。所以,我们求出的均衡策略具有一般性。

四、一个例子――奖学金分配问题

下面,我们考虑一个设立奖学金的问题。奖学金和学生分别对应模型中的标的物和投标者。一定数量的奖学金对于不同类型的学生而言,私人价值是不同的,例如,可以理解为由于家庭富有程度不同,同一笔奖金往往对于相对贫穷的学生而言更重要。同时,每个人对奖学金带来的荣誉的评价也可能不同。但在模型中仅仅考虑类型为一维的情况。将学生的努力程度看作竞价潜在的假设是每个学生的努力程度可以通过成绩来观察,并且不考虑努力程度以外的,比如学生天赋、考试发挥的不确定性等因素,假设成绩是努力程度的严格增函数。并且,我们进一步假定奖学金总额固定,ti=k,k为常数。下面,我们将奖学金的等级设定情况,即向量(t1,t2,......tN)看作拍卖者的控制变量,简要讨论在不同情况下学生的均衡策略。

第一,假设t1=t2=......=tN=≥0。这是一种极端的分配情况:不论成绩名次如何,每个学生都得到相同分额的奖学金。代入③得:

Ω(P(θ))=CP(θ)N-K(1-P(θ))K-1=[P(θ)+(1-P(θ))]N-K=

所以,S(θ)=xdΩ(P(x))=0,即不论类型如何,每个学生都不会为奖学金付出任何努力。

结论十分自然,不仅仅是奖学金分配问题,当我们在考虑所有类似的激励问题的时候,平均主义的做法都是没有效率的。平均主义意味着无论人付出何种程度的努力,最终都只能固定地获得相同的回报。在人自身收益最大化的前提下,任何类型的人都会最小化自己的成本,即不付出任何努力。更重要的是,导致激励无效的原因并非由于落实到每个参与人的奖金绝对值低,而是因为每个参与人的支付相同。也就是说,对于任意一个参与人而言,首要的问题并非是“我能获得多少”,而是“我能比别人多获得多少”。平均化地激励人等价于不激励。

第二,假设t1=k,t2=t3=......=tN=0。在完全支付的框架下,这是较常见的有N个风险中性投标者的单物品一级价格密封拍卖模型。当我们考虑这个奖学金分配问题时,可以把这个模型理解为另一个极端的分配情况:成绩最好的学生获得全部奖学金,其余学生的努力则不能得到补偿。将t1=k,t2=t3=......=tN=0代入③得:Ω(P(θ))=kP(θ)N-1。所以,在这种情况下类型为θ的学生将付出努力程度:

S(θ)=kxdP(X)N-1⑤

第三,假设t1,t2...tN是一个递减的等差数列。这是一个完全差别化的奖学金分配方案:不同成绩的学生获得不同等级的奖学金。成绩越好的学生获得的奖学金数额越高。令tK=α-Kβ,k=1,2...N,α-Nβ≥0)。

代入③得到:Ω(P(θ))=(α-Kβ)CP(θ)N-K(1-P(θ)K-1

经过化简得:Ω(P(θ))=α-βN+β(N-1)P(θ)。代入④得:S(θ)=β(N-1)xdP(x)。可以再次观察到学生的努力程度S(θ)与奖学金的绝对量无关,仅与不同等级奖学金之间的相对差额β正相关。奖学金等级间的差别越大,学生越努力。那么,在奖学金设定为等差数列的条件下,并且满足ti==,以及α-Nβ≥0的约束,设定β=,α=可以使任何类型的学生的努力程度达到最大值:

S(θ)=xdP(x)⑥

比较⑤式与⑥式,令不等式xdP(x)-kxdP(X)N-1>0,将N看作变量,求解得出不等式条件为:[sign(xdP(x)2)]N>0。由于θ>0,xdP(x)2>0,所以符号函数sign(xdP(x)2)=1。这意味着当N为任意自然数时,不等式xdP(x)-kxdP(X)N-1>0都是成立的。结果告诉我们,与假设2中的情况相比,当奖学金设定为一定条件下(β=,α=)的等差数列时,每一种类型的学生都会更加努力。在假设2中,虽然第一名获得了全部奖励,极大化了第一名和其他学生的差别,但第二名以及以后的学生所获得的奖学金依然是均等的。没有使不同成绩的学生获得不同等级的奖学金,这是假设2的设定方案的效率不如假设3的最主要原因。

以上的例子给我们以下启示:当我们考虑与上述奖学金设定问题相似的一系列问题时,应该注意,在委托人设计的激励方案中,首要因素是尽量对不同绩效的人实行差别化地激励,并且尽可能地拉大等级间的差距。委托人平均主义地对人激励等于不激励。

五、模型进一步扩展的方向

大多数文献都讨论了单物品拍卖模型,并在模型中逐步引入以下因素:风险厌恶的偏好,共同或关联价值,类型分布的非对称性,参与者间的合谋行为,以及拍卖人与竞买人勾结起来损害卖主利益的败德行为等等。多物品拍卖中的情况无疑会更加复杂。除了单物品拍卖所涉及的以上问题,参与人类型的分布将是一个新的讨论要点。在包括本文在内的绝大多数文献中,参与人的类型都仅仅是一维的。就目前而言,我们尚不能很好地处理参与人的类型为多维随机变量的情况,特别当类型为多维连续型随机变量时,问题更加难以处理。这无疑大大地限制了我们在更一般的情况下,对多物品拍卖模型中的非对称均衡的讨论。这将是下一个需要我们有所突破的领域,同时也是模型进一步扩展的方向。

参考文献:

1、Friedman,L.ACompetitiveBidding

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2、Vickrey,W.Counterspeculation,Auctions,andCompetitiveSealedTenders[J].JournalofFinance,1961(16).

3、Vickrey,W.Auctionsand BiddingGa-

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4、Maskin,E.S,J.G.Riley.OptimalMulti-unitAuctions[M].InF.HahneditorTheEc-

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(作者单位:广发证券股份有限公司)