三角函数模型的实际应用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.下面通过几个具体实例，说明三角函数模型的实际应用．

1 直接给出三角函数模型的应用题

例1 （2012年青岛市调考题）某专业调查队在调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：

信息1：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随函数

y1=A1sin（ω1x+φ1）+B1波动的.已知3月份出厂价格达到最高，为8元，然后逐渐降低，到7月份出厂价格达到最低，为4元．

信息2：该商品的销售价格是在8元的基础上，按月份随函数y2=A2sin（ω2x+φ2）+B2波动的.已知5月份销售价格达到最高，为10元，然后逐渐降低，到9月份销售价格达到最低，为6元．

（1）根据上述信息，求该商品的出厂价格y1（元/件）和销售价格y2（元/件）与月份x之间的函数关系式；

（2）若某经销商每月购进该商品m件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由．

解析 （1）依题意，得B1=8+42=6，A1=2，T1=2×（7-3）=8，

所以ω1=2πT1=π4，y1=2sinπ4x+φ1+6.

将点（3，8）代入函数y1=2sinπ4x+φ1+6，得φ1=-π4，

所以y1=2sinπ4x-π4+6.

同理，可得y2=2sinπ4x-3π4+8.

（2）因为利润函数是y=m（y2-y1）=m2sinπ4x-3π4+8-2sinπ4x-π4-6

=m2-22sinπ4x，

当sinπ4x=-1，即π4x=2kπ-π2（k∈Z），亦即x=8k-2（k∈Z）时，y取最大值．

又1≤x≤12，故当k=1，即x=6时，y最大.

综上可知，在6月份盈利最大．

点评 本题是经济学中的销售利润问题，是两正弦曲线的叠加，紧扣已知条件分别确定出厂价格函数和销售价格函数是解题的关键．

例2 （2012年苏州市模拟题）在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=100Acosωn+2π3+m来刻画，其中正整数n表示月份且n∈［1，12］，例如n=1时表示1月份；A和m是正整数；ω>0．

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；

③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8

月份达到最多．

（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数不少于400人时，该地区进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．

解析 （1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12，由此可得T=2πω=12，得ω=π6．

由规律②可知

f（n）max=f（8）=100A+100m，f（n）min=f（2）=-100A+100m，由题意可知f（8）-f（2）=400，所以200A=400，A=2. 又当n=2时，

f（2）=200cos（π6×2+2π3）+100m=100，即-200+100m=100，于是m=3.

综上可得f（n）=200cosπ6n+2π3+300符合条件．

（2）由条件200cosπ6n+2π3+300≥400，可得cosπ6n+2π3≥12，

所以2kπ-π3≤π6n+2π3≤2kπ+π3（k∈Z），化简可得12k-6≤n≤12k-2（k∈Z）.

因为n∈［1，12］，n∈N*，所以当k=1时，6≤n≤10，故n=6，7，8，9，10，即一年

中的6，7，8，9，10五个月是该地区的旅游“旺季”．

点评 本题从一个实际的应用背景出发考查三角函数的图象与性质，但不同于以往的考查方式，考查学生的文字理解能力与应用意识，考查学生的运算能力与数据处理能力．

例3 （2009年福建省高考题）如图1所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin ωx（A>0，ω>0），x∈［0，4］的图象，且图象的最高点为S（3，23）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．

（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；

（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

解析 （1）依题意，有A=23，T4=3，又T=2πω，所以ω=π6.

所以y=23sinπ6x.

当x=4时，y=23sin2π3=3.

所以M（4，3）.又P（8，0），

所以MP=42+32=5.

图1 图2

（2）法1 在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，如图2，设∠PMN=θ，则0°

由正弦定理，得

MPsin 120°=NPsin θ=MNsin（60°-θ），

所以NP=1033sin θ，MN=1033sin（60°-θ），

故NP+MN=1033sin θ+1033sin（60°-θ）

=103312sin θ+32cos θ=1033sin（θ+60°）. 因为0°

即将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．

法2 在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理，得MN2+NP2-2MN·NP·cos∠MNP=MP2，

即MN2+NP2+MN·NP=25，

故（MN+NP）2-25=MN·NP≤MN+NP22，

从而34（MN+NP）2≤25，

即MN+NP≤1033.

当且仅当MN=NP时，折线段赛道MNP最长．

点评 本题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．

例4 （2011年湖北省八校联考题）在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图3的方式建立平面直角坐标系xOy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0

现在老张决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得ω=π72．图3

（1）请你帮老张算出a，b，φ的值，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；

（2）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其他费用，这次操作他能赚多少元？

解析 （1）因为C，D关于直线l对称，

所以C点坐标为（2×34-44，16），即（24，16）．

把点A，B，C的坐标代入解析式，得

22=asin φ+b， ①

19=asinπ6+φ+b， ②

16=asinπ3+φ+b，③

②-①，得asinπ6+φ-sin φ=-3，

③-①，得asinπ3+φ-sin φ=-6，

所以2sinπ6+φ-2sin φ

=sinπ3+φ-sin φ，

所以cos φ+3sin φ=32cos φ+32sin φ，

所以1-32cos φ=32-3sin φ=332-1sin φ，

所以tan φ=-33，

因为0

所以φ=π-π6=5π6，代入②，得b=19，

再由①，得a=6.故a=6，b=19，φ=5π6．

于是，ABC段的解析式为y=6sinπ72x+5π6+19，

由对称性得，DEF段的解析式为y=6sinπ72（68-x）+5π6+19，

所以令π72（68-xF）+5π6=π2，解得xF=92，

所以当x=92时，股价见顶．

（2）由（1）可知，yF=6+19=25，故这次操作老张能赚5000×（25-16）=45000元．

点评 本题以股票曲线图为模型，考查y=asin（ωx+φ）+b的解析式及性质.第（1）问观察解析式，要求三变量a，φ，b，故根据对称性由点D的坐标得点C的坐标，再代入A，B，C的坐标，通过消元、三角变换与给值求角等变形得解；第（2）问实际上是求点F的纵坐标，就是求函数的最值，利用y=6sinπ72（68-x）+5π6+19在对称轴处取最值，求出ymax．

2 拟合选取三角函数模型的应用题

例5 （2012年郑州市模拟题）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：

（1） 试在图4中描出所给点；

（2） 观察图，从y=at+b，y=Asin（ωt+φ）+b，y=Acos（ωt+φ）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

（3） 如果确定在一天内的上午7时至晚上19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

解析 （1）描出所给点如图5所示：

（2） 由（1）知选择y=Asin（ωt+φ）+b较合适．

由图知，A=0.4，b=1，T=12，所以ω=2πT=π6．

把t=0，y=1代入y=0.4sinπ6t+φ+1，得φ=0.

故所求拟合模型的解析式为y=0.4sinπ6t+1（0≤t≤24）.

（3）由y=0.4sinπ6t+1≥0.8，得sinπ6t≥-12，

则-π6+2kπ≤πt6≤7π6+2kπ（k∈Z），

即12k-1≤t≤12k+7（k∈Z），

注意到t∈［0，24］，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24．

再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．

点评 本题利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．

例6 （2012年襄阳市质检题）某港口在某季节每天的水深y（m）与时间t（h）（0≤t≤24）的观测数据及其关系如下表：

（1）选用一个函数来近似拟合这个港口的水深y（m）与时间t（h）的函数关系；

（2）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若使该船当天安全离港，它在港内停留的最长时间是多少？（忽略进离港所用的时间）

图6解析 （1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（如图6）．

根据散点图，可选用函数y=Asin（ωt+φ）+b来拟合水深与时间之间的对应关系．

从数据和图象可以得出：A=3，b=10，T=12，φ=0.

由T=2πω=12，得ω=π6．

因此这个港口的水深y与时间t的关系可用函数y=3sinπ6t+10，t∈［0，24］来近似拟合．

（2）由于船的吃水深度为7m，船底离海底的距离不少于4.5m，故船在安全航行时水深应不少于11.5m．

令y=3sinπ6t+10≥11.5，得sinπ6t≥12，

所以2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈Z），

即12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）．

注意到t∈［0，24］，所以1≤t≤5或13≤t≤17．

所以该船在凌晨1时至5时，或下午13时至17时，能够安全进港．

该船要在一天内在港口停留时间最长，就应凌晨1时进港，下午17时离港，故该船在港内停留的最长时间为16小时．

点评 通过对给出数据的研究，了解函数图象的大致走向，为拟合函数提供直观的印象，这是利用三角函数模型解决实际问题最常见的方法．

3 演绎建立三角函数模型的应用题

例7 （2012年杭州市模拟题）游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5m，半径40m.若小明从最低点处登上摩天轮，从他登上摩天轮开始计时，他与地面的距离h将随时间t变化，已知5min后到达最高点．

（1） 求出h与t之间的函数关系式；

（2） 当小明第1次距离地面20.5m时，用了多少时间？

图7解析 （1）不妨设摩天轮沿逆时针方向旋转，如图7所示，设经过tmin后，小明由P旋转到P1，则∠P1OP=π5t．

由图可知，ON为中心O到地面的距离，P1M为点P1到地面的距离，过P1作P1QON于Q，则h=P1M=ON-OQ=40.5-OP1cos∠P1OP，

即h=40.5-40cosπt5=40sinπ5t-π2+40.5．

所以h与t之间的函数关系式为h=40sinπ5t-π2+40.5．

（2）由h=40sinπ5t-π2+40.5=20.5，得sinπ5t-π2=-12．

所以当小明第1次距离地面20.5m时，π5t-π2=-π6，即t=53（min）．

故小明第1次距离地面20.5m时，用了53min．

点评 摩天轮在周而复始的转动中，包含着许多数学问题，这里研究了人所在的高度与时间的函数关系，得到一个三角函数模型，解答的关键是通过直角三角形中的边角关系，寻找出两个变量之间的函数关系，从而转化为三角函数模型．

例8 （2011年北京海淀区模拟题）一半径为4m的水轮如图8所示，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．

（1）将点P距离水面的高度y（m）表示为时间t（s）的函数；

（2）点P第一次到达最高点大约要多少时间？

解析 （1）不妨设水轮沿逆时针方向旋转，如图9所示，建立直角坐标系. 设角φ-π2

由OP在t（s）内所转过的角为5×2π60t=π6t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为π6t+φ，故P点纵坐标为4sinπ6t+φ，则y=4sinπ6t+φ+2．

当t=0时，y=0，可得sin φ=-12.

因为-π2

故所求函数关系式为y=4sinπ6t-π6+2．

（2） 令y=4sinπ6t-π6+2=6，得sinπ6t-π6=1．

取π6t-π6=π2+2kπ（k∈Z），解得t的最小值为4．

故点P第一次到达最高点需要4s．

点评 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．