引导学生运用图式语言进行数学表达的策略

【关键词】图式语言 数学表达？摇

数学思维 习题资源

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）01A-

0041-02

数学语言不仅是数学活动的一个重要内容，也是数学知识、数学思维的载体，是数学交流的有力工具。数学语言分为：文字语言、符号语言和图式语言。图式语言作为一种直观的语言符号，它比文字语言的表述更简洁、比符号语言更直观，具有形象具体和简单抽象的双重特性。现以北师大版五年级数学上册第三单元《分数》中的“找最小公倍数”“练一练”第4题（如右图）的教学为例，谈谈如何引导学生利用图式语言进行数学思维、数学表达和交流。

一、寻因索果，引类比联想

文字、符号和图式语言叙述的分离与结合的过程，其实就是思维活动深入展开的过程，分离越清楚，结合就越紧密，越能帮助学生建立与概念相关的直观表象，感悟数与形、形与数之间的转化，从而达到发挥几何直观中利用图形直接洞察问题本质之作用。

【片段一】

师：怎么解决第一小题？

生：就是求公倍数。（稍许）不，应该是求最小公倍数才对。

（大部分学生都还在读题时，就有一学生提出了解决问题的思考方向，学生质疑，该生解释）

生：没有相遇时爸爸妈妈是各跑各的，相遇时，说明他俩跑的路线有了交点，像这样（比划模仿爸爸妈妈相遇的情景），这个交点是共同的、公有的。你们看他俩跑步的图（用两个手指头画弧线表示两人所跑的路线），很像是相交的集合图，公倍（因）数的图也是这样表示的啊。我想他俩要在起点处相遇，那所用时间和一圈所用时间的倍数有关，又是第一次相遇，那肯定和最小公倍数有关。

当我们用图解（如图1）的形式把该生的讲述表示出来，就会发现他的思考过程所借助的“形”近似于求“最小公倍数”时所采用的图示语言（图2）。回顾“找最小公倍数”教学时，教材首先要求学生用和分别从表格中的1～50标出4和6的倍数，接着要求学生寻找“既标有又标有的数”，再给（最小）公倍数下定义，接着教材安排了“填一填”（图2）利用集合图表示50以内6和9的公倍数和最小公倍数。多层次剖析活动的展开，学生在多种感官齐参与、多种活动同进行中借助图式（图表、集合图）语言，理解、表述和记忆关于“（最小）公倍数”简洁的文字叙述，在不断深化概念理解的过程中理解求公倍数诸多方法的异同点，发现了大数翻倍法找公倍数方法的快捷优越性，还建立了“最小公倍数”相关的“集合图”的表征。

6和9的最小公倍数是 。

不难看出，当问题情境出现时，学生就从已有情境图所提供的形状特点、变化趋势、相关数据等方面的已知条件出发，在迅速过滤掉用语言文字描述的问题中非本质信息后，得以阐明未明确表示的隐蔽关系，而类似的图示表征引发学生产生类比，自觉地把题意转化为相近的、直观的图示，并联想到构造与之相关的几何图形，再到相关概念或定理及公式上，从而迅速找到解题的突破口。

在教学过程中，用知识的实际原型（形）和描述性的语句（文）相结合的方式，以“形”喻“义”、“义”隐于“形”，帮助学生建立关于知识的清晰图式表征，为学生长久储存和快速提取数学知识提供了可能。

二、揭示本质，展思维过程

同一个数学思维过程用文字表述则生动，用符号表示则简练，用图形表达则直观形象。

第一小题的交流讨论教学片段：

师：用什么方法能让人一目了然地了解你的解题思路？

生：用图（如下图）。圆圈表示操场，用箭头表示爸爸妈妈的运动轨迹，用算式表示他俩在运动中相对的位置。

该生通过图式方式呈现问题情境，形象直观地勾勒了数学研究对象，辅于廖廖文字描述，使理解不囿于图中的具体事物，概括水平高。这里所指的“图式”并不仅仅局限于几何图形，还有运算符号、图形以及方框、箭头等直观符号组合表示的图式语言，甚至用文字、符号等表示出来的数量关系式等。直观的图式语言揭示了隐蔽的数量关系，架通了“相遇”和“公倍数”之间的联系；动态的进程演示，让学生的观察、类比有了实体，具体精确计算下的猜想与分析，让推理与证明变得“通透”，让问题本质得以展现，让数学理解上的难点得以突破。

图形化的语言表述形式是形象表达、显示数量或多个数量之间逻辑关系的结构化图形。它虽然不能作为论证的依据，但它提供了一个思维模式，是数学思维的先导。它是一种教学工具、策略或技术，通过数与形相结合，引导学生建立与知识相关的图式语言，并借此帮助学生由义及形、形义一体地去理解和运用知识。教学时教师应有意识训练和培养学生借助图形实现数学语言之间进行合情转换的能力，善于借助常用的图式语言，如线段图、数轴图、集合图、单位圆、几何图等，指导学生把数学文字语言转换成图式语言进行表述，在经历把“文”中的语言信息重新组织、整理、加工、补充进“形”中的“再创造”活动中，达到借助图式化静态为动态情境，化抽象文字为直观图示，化“无形”思维进程为“有形”推理之作用，以获得关于问题本质特性、联系和关系的知识。

三、延伸拓广，促模型建立

数学在本质上是在不断地抽象、概括、模式化的过程发展和丰富起来的，数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。

在解决“请你再提出一个数学问题，并尝试解答”时，有个别学生提出“三人几分钟后在起点处相遇”。相比上题，其探讨的点由“两人相遇”扩展到“三人相遇”，由“第一次相遇”扩展到“相遇”，显然和刚刚总结出来的解题模型条件不大相符合，问题难度系数大了。但在没有“帮扶”下，学生的解答效果非常好。课后，笔者就“为什么你能很快地解决这个问题”这个话题与不同程度的学生进行交流，孩子的回答如出一辙：两人在环形跑道上相遇如交在一起的集合图，说明这个问题和公倍数有关；“8分钟后，再8分钟后，再8分钟后，也就是24分钟后三人第一次在起点处相遇，以后每次经过24分钟后三人都会相遇……从学生的回答可以看出，在这习题的学习过程中，有三个方面的“模”嵌入他们脑中：一是内容层面的，即“相遇”这类题本身的题型结构特征；二是方法层面的，即“利用图式分析和解决问题”的解题思路；三是思想层面的，即从一个具体的数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行扩展运用。

知识加工越精致，形成的图式就越合理、越牢固，就越容易产生迁移，越有利于变通性思维的发展。帮助学生把从代数问题分析中抽出的图式语言上升到或纳入数学模型，能提高学生从现实问题快速退到最原始最简单的同构性知识、模型，并依据已建立的与知识概念相对应的图示模型来解决具体问题的本领。