有关离心率问题的解题策略

求离心率的值或取值范围一般涉及到平面解析几何、均值不等式等多个知识点,综合性强,方法灵活.解题关键是挖掘题中的隐含条件,构造等式或不等式,下面举例说明.

例1(2006年全国)已知双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x,则双曲线的离心率为()

A.53B.43C.54D.32

分析:由题意可知ba=43,可令a=3m,b=4m,则c=a2+b2=5m,

所以e=ca=53,故选A.

例2 已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的一个焦点与抛物线y2=6x的焦点重合,则该双曲线的离心率为()

A.233B.32 C.322D.355

分析:抛物线y2=6x的焦点横坐标是32,即有双曲线的右焦点的横坐标为32,c=32,可求得a2=94-1=54,则e=ca=355,答案选D.

例3(2008年江苏)在平面直角坐标系xoy中,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c,以坐标原点O为圆心,a为半径作圆M,若过点P(a2c,0)所作圆M的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为 .

分析:由作图可知两条切线关于x轴对称,所以其中一

条切线的倾斜角为45°,所以切线的斜率k=1,切线方程为:y=x-a2c

,即cx-cy-a2=0,根据圆心到直线的距离等于

半径构造等式:|-a2|c2+c2=a,即a=2c,

所求离心率e=22.

例4已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ΔABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 .

分析: 由作图可知ΔABF2是等腰三角形,所以只需满足∠AF2B是锐角即可,根据对称性∠AF2F1

|AF1||F1F2|

由于A(-c,b2a),所以|AF1|=b2a,|F1F2|=2c,则可构造不等式b2a2c

,即b2

例5已知:F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右两个焦点,P是椭圆上的一点,∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取值范围.

分析:如图,设|PF1|=x,|PF2|=y则x+y=2a.

cos60°=x2+y2-(2c2)2xy=12,即(x+y)2-2xy-4c22xy=12,

整理得,4a2-4c2=3xy,因为xy≤(x+y2)2=a2,当且仅当x=y时,等号成立,

所以,4a2-4c2≤3a2,12≤e

例6双曲线x2a2-y2b2=1与x2b2-y2a2=1的离心率分别为e1,e2,求e1+e2的最小值.

分析:因为e1=ca,e2=cb,所以e1+e2=ca+cb≥2c2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

又c2=a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

c2ab≥2,即e1+e2≥22,所求最小值为22.

例7已知双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求双曲线的离心率e的最大值.

分析:由

|PF1|-|PF2|=2a,

|PF1|=4|PF2|,

解得,|PF2|=2a3,|PF1|=8a3.

又因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即10a3≥2c,

所以e≤53,所以e的最大值为53.

例8若在双曲线x2a2-y2b2=1的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是.

分析:如图,双曲线的右顶点为A,当|OA|=|AF|时,

右支上到原点和右焦点距离相等的点有一个,由题意知右

支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,因此,a

所求离心率的范围是e∈(2,+∞).