《高等数学》中定理教学方法的探索

摘要：定理及其证明是《高等数学》教学中很重要的一部分内容，本文在分析定理教学现状和问题的基础上，阐述了一种定理教学的系统方法。

关键词：定理证明；数学教学；教学方法

一、《高等数学》中定理教学的重要性

《高等数学》是高校中普遍开设的重要基础课程。本课程的教学内容中包含了经典的微积分重要定理。每个定理在数学发展史上都是一个阶段性成果，这些定理作为重要衔接点将数学发展史串联成一个连续整体。同时，定理的证明方法也是人们长期研究的优秀成果。定理的产生过程及其证明方法常常反映出解决数学问题甚至解决一般问题的思想与方法，利用这些思想与方法，不仅能解决类似问题，而且还能解决不同类型的问题。

《高等数学》中的定理教学不但可以帮助学生深入学习概念，建立知识体系的联系并使之系统化，而且可以培养学生的分析能力、概括能力和创造能力。定理的证明过程可以帮助学生更透彻地领会教学内容所涵盖的基本数学思想，是帮助学生全面系统地掌握数学知识必不可少的环节。

二、定理教学方法现状及其问题分析

《高等数学》作为高校的一门基础课，开设面广，涉及的教师多，每位教师对定理的教学方法都有所不同。从总体上看，定理教学有以下几种方式：

1.教材阅读式。教师在课堂上讲解定理时，把教材作为唯一依据，备课时尽最大可能记住定理内容及其证明过程，课堂上，再背诵给学生。学生能否接受，接受效果如何，全看教师抑扬顿挫的水平和学生的悟性高低。这种教学方式只是按教材编排前后次序将教材上的文字性内容转为有节奏的声音材料，对学生领会定理内容及其证明方法没有什么指导价值。教师没有带动起学生思考问题、分析问题的兴趣。学生只是被动地记忆一些表面东西。这种做法看似完整地传达了教学内容，但学生接受效果不佳，教师完成教学任务是以学生掌握知识为原则，因此这种做法不值得提倡。

2.只重结论式。教师直接告诉学生定理的使用条件以及使用方法，忽略对定理产生过程的介绍，跳过证明分析过程。教师要求学生象背诵英语单词一样记住定理结论或公式，在教学过程中为使学生能够尽可能熟练地使用定理结论，不惜花费大量时间精力收集各种各样的例题，让学生模仿解答类似题目。这种教学方式的结果是：学生能够大胆使用定理，只要找到符合的例题，能快速准确地解题。存在的问题是经常出现滥用、乱用定理的现象；同时，条件稍加变化学生就不知所措。这是一种不问过去和未来，只重现在的做法。对于非数学专业的学生，《高等数学》是作为一门基础课、工具课开设，只重结论式的教法虽有其可提倡之处，但其对于深化学习内容，灵活运用结论也存在很大弊端。

3.面面俱到式。教师对教材涉及的定理尽可能给出多种证明方法，让学生“欣赏”。虽然，这样可以丰富学生的知识面；但此类做法也常使学生抓不住要点，学习任务由此加大很多。这种做法看似全面，但没有抓住定理教学的精髓，是重量不重质的做法。

4.避重就轻式。教师对于简单的定理细致讲解证明过程(事实上是以解释教材为主，就定理学定理)；对于难度较大的定理，则多强调应用而避开定理证明的方法。这种做法对教师来说省时省力，也基本不影响学生解题；对学生来说，首先省时省力，更重要的是重点突出。但这种做法让学生误认为定理只是概念的浅层延伸，是为了实际应用而引出的概念之间的联系，从而忽视了对知识体系的逐步整合与升华，失去了借助定理学习培养各种数学思维能力的机会。教师对定理学习的要求也只是局限于定理的应用及应用时的注意事项。同时，学期末的学习效果考核体系中缺乏对定理理解及证明考查的试题，从而也会误导学生对定理学习重要性的认识。

这些教学方式导致学生对定理及其证明方法的认识不足。首先，大多数学生从思想上认识不到学习定理的重要性，情感上不愿意下功夫学习，方法上不懂得如何学习。其次，在学习过程中，没有先前知识的积奠，没做好构建新知识的准备工作。最后，不能在发展过程中学习，不知道定理本身与前后内容间的联系。因此，在数学定理教学中有必要探索更加科学的教学方法。

三、笔者的尝试与探索

要解决上述问题，除耐心指导学生学习与定理相关的预备知识之外，还需要一些技巧帮助学生更好地掌握定理。依据一定的思路教授和学习定理，对学习过程会带来便捷，同时也可以收到较好的学习效果。笔者在教学和学习过程中不断总结得到几点经验，现按照学习定理的步骤分述如下：

第一，略读定理及证明过程。首先，通过这一步骤使得学生对定理的条件和结论有个初步了解，使学生清楚定理要解决什么样的问题，证明过程要依据学习过的哪些内容，以及证明过程采用的宏观方法(如：反证法，归纳法，构造法，作图法等)。教师可以用通俗易懂的鲜活的实例来反映定理的思想精髓，帮助学生从已有的知识或常识切入定理。例如，Lagrainge中值定理(以下简称L中值定理)的引入，可以设想一段光滑的钢管，让学生观察，钢管两端点的连线和某个转折点处切线的关系。学生会发现它们的平行关系，教师进而引导学生把光滑的钢管抽象成光滑的曲线，并用数学形式描述“光滑的曲线”。学生会根据刚刚学习的连续及可导给出两个条件。当然对于L中值定理条件中的“闭区间上连续，开区间内可导”，此时不必要求那么严格，可以直接使用“闭区间上连续，闭区间上可导”。再用数学形式描述结论，即“两端点连线与中间某点的切线平行”。可以看到在中值定理证明的过程中采用了构造辅助函数的方法。另外，对有些更加抽象的定理，可直接看定理，就“定理看定理”。例如，格林公式的结论，形式上看只是二重积分与曲线积分的转换，而条件只有两条：“边界曲线分段光滑，函数P(x，y)，Q(x，y)具有一阶连续偏导”，因此，可直接阅读定理证明过程。

第二，逐条分析定理条件。阅读定理，分清定理条件与结论，并把条件理清头绪。依据已有的知识，对每个条件分析条件中包含概念的定义、充要条件、必要条件等。例如，L中值定理讲授中，条件与结论已经非常清晰地展示出来。列出的条件有两条：第一，函数f(x)在[a，b]上连续；第二，函数f(x)在(a，b)内可导。我们分析：由条件一可知，函数f(x)在[a，b]上取值连续；函数f(x)在[a，b]上任意一点处极限值等于函数值；函数f(x)在[a，b]上存在最值；函数f(x)在[a，b]上有界等等。当然，学习者要不断学习、不断总结，只有这样才可能在需要的时候已有知识才能信手拈来。这个步骤初做起来会觉得很费力气，尤其是所有条件要逐条分析其相应的判断、结论。事实上，当我们习惯于这种方法后，这个过程只是谨慎的一闪念的过程。

第三，仔细阅读定理证明过程，注意每个条件在证明中的使用。这个过程的学习是需要很用心思的。教师要引导学生本着耐心细致的原则认真钻研。首先要注意条件在证明过程中的展开形式，其次要注意它在证明中和其他条件的结合以及步与步之间的逻辑推理过程。

第四，通观整个证明过程分几大步骤。如果说第三步的工作是细致的、琐碎的，这一步就是整合的、宏观的。经过第三步的学习，证明过程中步与步之间的推理已可以确认没有问题，但总的指导思路还要再次回到证明过程。整个过程，按证明步骤分段，标出每一段要完成的结论，再把这些小结论连贯起来就是证明定理的总体思路。这一步骤从宏观上给了我们一种解决问题的一般方法，对我们解决其他问题有很大的借鉴意义。

第五，回味定理。笔者认为这个过程是相当重要的，它使得新旧知识得以融会贯通，使得知识得到及时的系统化和逻辑化，此步骤是定理学习呈良性循环不可缺少的环节。

首先，分析条件在证明中的必要性，考虑当条件如何改变时结论不成立而如何改变时依然成立。特别是对经常遇到的条件类型，分析结论是否成立(例如初等函数、连续函数、可导函数等)。在教学中首先要强调在常见条件下使用定理；其次，当学生基本掌握定理的精髓之后再回头注意如什么情况下不能使用该结论等细节问题。例如，高斯公式的使用：教师需要首先强调通常情况下对于在定义区域内的初等函数满足“具有一阶连续偏导”这个条件，可直接进行三重积分和第二类曲面积分的转换计算。同时，也要强调当函数之一不满足这个条件时，不妨设“函数在一点处不连续”，这时不能直接使用该定理，可采用“挖去不适合点”的做法。“挖去不适合点”是学生学习中很容易忽视的地方，而这种做法正是处理该类问题的常用方法。最后，对有些结论还要掌握证明过程所涵盖的方法以及证明过程中包含的“小结论”。例如，L中值定理的证明中，辅助函数的构造方法在中值定理部分普遍使用；再如，格林公式