时间：2022-09-10 07:43:05
概率题是高考一个的热点，但由于学生对概率知识理解不够透彻，解题中容易陷入困境.本文就教学中学生常见的几个误区做一分析.
【例1】 （人教版必修2下P140例2）一个口袋内装有大小相同的一个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球.摸出2个黑球的概率是多少？
误区一：例1中“摸出2个球”是一次（同时）摸2个还是先后摸2个（一次摸一个），“黑1，黑2”与“黑2，黑1”是一种结果还是两种结果，同时摸和先后摸对结果有影响吗？
显然例1中从4个球中摸出2个球是同时摸，“黑1，黑2”与“黑2，黑1”是一种结果.
如果将例1中摸出2个球看做是先后（依次）摸出两个球，摸出2个黑球的概率是多少？
先后摸出2个球，试验的所有结果（基本事件）组成的集合I含有A24=12个元素.而摸出2个黑球结果组成的集合I含有A23=6个元素的子集A.因此，摸出2个黑球的概率
结论：摸球的过程不同，但得出的结果是相同的.概率的实质是在大量的重复试验中，事件发生的频率的稳定值.也就是说概率是试验结果的可能性，与试验过程无关.“黑1，黑2”与“黑2，黑1”是一种结果还是两种结果只取决于试验过程.在运用P(A)=Card(A)Card(I)计算等可能性事件的概率时，因为集合A是集合I的子集，所以计算Card(A)和Card(I)时，要同时运用排列（有序）或同时运用组合（无序），且不可将“有序”和“无序”混用.
【例2】 （人教版必修2下P144练习）先后抛掷2枚均匀的硬币.（1）一共可能出现多少种不同的结果？（2）出现1枚正面1枚反面的结果有多少种？（3）出现1枚正面1枚反面的概率是多少？（4）有人说：“一共出现2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面这三种结果，因此，出现1枚正面1枚反面的概率是13”.这种说法对吗？
误区二：例2中“先后抛掷2枚均匀的硬币”改为“同时抛掷2枚均匀的硬币”那么（4）中的说法成立吗？
有人认为：先后抛掷的2枚硬币之间有序，故一正一反有“正反、反正”两种结果.而同时抛掷的2枚硬币之间无序，故（4）的说法正确.
分析：如果在同时抛掷中，把基本事件认为有“2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面”这三种结果，那么两枚硬币出现正面和反面相互独立，事件“两枚均为正面”的概率应为12?12=14.事件“两枚均为反面”的概率也为14.故事件“1枚正面1枚反面”的概率为1-14-14=12，而不是13.
结论：在运用P(A)=Card(A)Card(I)求概率时，必须保证各个基本事件发生的可能性相等.“出现2枚正面，2枚反面，1枚正面1枚反面”这三个基本事件发生的可能性不等.所以在解答等可能性事件的概率时，谨防“非等可能性”与“等可能性”混淆.
【例3】 某人有五把钥匙，其中只有一把能打开门，但他忘了是哪一把，于是他便将五把钥匙逐把不重复试开.问：恰好第三次打开门的概率是多少？
误区三：解法一中“第三次打开”既然已经打开了，从实际情景考虑，后面就不会再去试了.即只需考虑第一、二次的情形.则m=A24.P(A)=mn=A24A55=110
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显然，这种说法是错误的.计算等可能性事件的概率时，在试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素.各个基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集.包含m个结果的事件A对应于I的包含有m个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值，P(A)=mn.“五把钥匙依次逐把打开”作为“一次试验”，则可能出现的n个结果组成一个集合I.即I={abcde,abdec,acdeb…}.包含m个结果的事件A对应于I的包含有m个元素的子集A，则A中的元素应是a在第三个位置的五个字母的排列.即A={cbade,bdace,cdaeb…}.所以n=A55,m=A44.
如果“从第三次打开”出发可理解为：一次试验确定为前三次试开，等可能出现的n个结果组成集合I={abc,abd,acd…}，Card(I)=A35,而事件A是a在第三个位置的集合I的子集，即A={cba,bda,cda…}，Card(A)=A24.所以P(A)=A24A35=15.所以上述说法错误的原因是认为集合A不是集合I的子集.
结论：等可能事件概率计算时，对于事件与事件的“包含”与“不包含”的关系不能混淆.