收入-消费关系分析

[摘要] 本文给出了收入与消费关系的线性模型，并在高斯－马尔可夫假设下对未知参数进行了最小二乘估计，得出了表明它们之间关系的回归方程，实例说明，效果良好。并进一步论证了最小二乘解的性质。

[关键词] 收入与消费 高斯－马尔可夫假设 回归方程 最小二乘法 估计量

一、引言

消费是经济活动的终点，一切经济活动的目的就是为了满足人们不断增长的消费需求。但另一方面，消费又是经济活动的起点，是拉动经济增长的动力。正因为如此，关于消费行为的研究，即消费理论，一直受到人们的高度重视，出现了各种消费理论，也产生了各种消费函数模型。根据凯恩斯的绝对收入假设消费理论,认为消费是由收入唯一决定的,是收入的线性函数。随着收入的增加,一般也消费增加。它的数学描述为:

其中, 为消费, 为收入。在这里,用一个线性方程描述消费与收入之间的关系.在该方程中,认为消费与收入之间的关系是准确实现的,即给定一个收入值,可以根据方程得到一个唯一确定的消费值。但是,在实际上消费与收入之间的关系并不是准确实现的。这是由下列因素决定的:消费除了受到收入的影响之外,还受到其他众多因素的影响,诸如消费者所处群体的平均收入水平、消费习惯、消费心理、对未来收入的期望等，尽管这些因素对消费的影响不是主要的，甚至是很微小的，但确是客观存在的。 线性关系的近似性，即所假定的线性关系并不是严格的;收入数值得近似性，即所给定的收入数据本身并不绝对准确地反映收入水平；等等。由于上述的个个因素对消费的影响是微小的，而且各自对消费的影响我们可以认为是互不影响的，即是独立的。我们把所有这些因素对消费影响的作用和看作一个变量，这个变量是随机变量。概率论认为，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量。于是消费便可以用下面的更精确的方程来表示:

这里 是非随机可精确观察的， 是均值为零的符合正态分布的随机变量，叫做随机误差，是不可精确观察的，从而导致 也是随机变量。

二、收入与消费关系的回归方程

在方程(2)中，显然条件数学期望是的函数，记为,称为对的回归函数，而称为对的回归方程，也叫做经验方程。我们假设，即。为了估计未知参数，对与同时作n次独立观察，得n组观察数据∧,，它们满足都关系式：

其中，,∧,是相互独立且与具有相同分布的n个随机变量，令

那么∧，又，,∧,是相互独立的，那么是互不相关的，从而协方差矩阵，则(3)可改写为

X称为回归设计， 是满足：

(4)的n维随机列变量，其中是未知参数，∧为n阶单位矩阵，即对随机误差，,∧,作无偏、等方差与互不相关的假设。称(4)为Gauss-Markov假设。

也称

为Gauss-Markov线性模型。下面所考虑的问题是给出的估计，从而建立变量关于的回归方程。我们使用最小二乘法求解的估计量。

定理Gauss-Markov线性模型其中未知参数的最小二乘估计量为。是正规方程组=的解，是由最小二乘法得到的的估计量。这里我们假设||≠0，从而是正定矩阵。

为了叙述的方便，下面我们引进几个记号。令

令称为相关系数，|r|≤1r是衡量与之间线性程度的一种度量。|r|越接近1，与之间线性关系越显著。

事实上，参数的最小二乘估计量具有很好的统计性质。

性质1是的线性函数。在统计中，如果统计量是子样的线性函数，则称它为线性估计，这里是的线性估计。

性质2是的无偏估计。这样，,分别是总体参数,的无偏估计。因为。无偏估计是我们对估计量的一个最基本的一个要求。

性质3是的最小方差线性无偏估计。有效性是估计量的一个比较好的性质。

三、应用举例

对于家庭收入影响消费的问题，如果通过调查得到一组数据，列表如下：

中国消费数据表 单位:亿元

根据样本数据，作出了反映被解释变量消费和解释变量收入之间关系的散点图，从散点图可以清楚地看到消费和收入之间存在着很直接的线性关系,而且是正的线性关系。拟合效果比较符合实际情况。

且有=3643.3 =0.4450

所以样本回归方程为=3643.3+0.4450。

参考文献：

[1]魏宗舒:概率论与数理统计,高教出版社,1982

[2]李子奈:计量经济学,高教出版社,2000

[3]复旦大学编，数理统计，人民教育出版社，1979

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。