三角函数巧解几何定值\极值问题

【摘 要】本文阐述了三角函数在解决几何定值与极值问题的妙用，进一步揭示了三角是联系几何与代数的桥梁。

【关键词】三角函数 巧解 几何定值 极值问题

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）06－0173－01

一、解定值问题

解定值问题，一般取问题中的几个常量及与变动点、线有关的变量作“基本量”用它们表示要证为定值的量F，证F与变量无关。

例1，已知如图1，ABC

中，AB＝AC半O内切于

ABC，切点为D、E，D在

AB边上，E在AC边上，直

径在底边BC上，过 上任

一点F，作半圆的切线MN

交AB于M，交AC于N，

求证：BM•CN为定值。［1］

分析：取常量OB、OC及∠5、∠6，变量∠1、∠2、∠3、∠4为基本量。

证明：连结OD、OM、OF、ON、OE。易知∠1＝∠2，∠3＝∠4，且有∠5＝∠6，因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝180°，所以∠1＋∠4＋∠5＝90°，∠1＋∠4＋∠6＝90°，则∠1＋∠5＝90°－∠4，∠4＋∠6＝90°－∠1，在BOM和CON中，据正弦定理得：

，

。

上述两式相乘得：

＝OB•OC＝OB2

＝OC2（定值）。

例2，已知：半径为R的O' 经过半径为r的圆的圆心O，过O上任意一点C作其切线交O' 于A、B，求证：OA•OB为定值。［1］

分析：取常量OD＝2R、OC＝r，变量∠A、∠D为基本量。

图2图3

证明：（1）当点C在O' 内时（图2），连结oo' 并延长交O' 于D，连结BD、OC。

因为∠A＝∠D，∠ACO＝∠DBO＝90°。在RtACO和RtDBO中，得：

，OB＝ODsinD，则OA•OB＝OC•OD＝2Rr（定值）。

（2）当点C在O' 外时（图3），连结oo' 并延长交O' 于D，连结BD、OC。

因为四边形ABDO是O' 的内接四边形，所以∠OAC＝∠D。

在RtACO和RtDBO中，得 ，OB＝ODsinD，

则OA•OB＝OC•OD＝2Rr（定值）。

从以上二例中可以看到：解决几何定值问题，往往从几何图形中常量与变量的关系入手，巧用三角函数找出F与常量之间的表达式，使问题得到解决。

二、解极值问题

解极值问题，同样是取基本量（条件基本量），把求得F的表达式看成只是其中变量的函数。求此函数的极值（条件极值）。

例3，已知定线段AB＝ 。取动点M、N使AM＝MN＝NB＝1。求 的最大值（见图4）。

分析：取常量 、1，变量∠A、∠N为条件基本量。

证明：在AMB和MNB中，据余弦定理得：

MB2＝12＋（ ）2＋2×1× cosA，MB2＝12＋12＋2×1×1cosN，则cosN＝ cosA＋1。

＝

当cosA＝ 时， 有最大值 。

图4图5

例4，P为O1、O2的一个交点，过P任作直线与两圆分别交于点A、B。求PA•PB的最大值。

分析：取常量O1、O2半径r1、r2，∠O1PQ2＝θ，变量∠O1PA＝α1，∠O2PB＝α2为条件基本量。

证明：在AO1P和BO2P中，据正弦定理得：

， ，则

PA•PB

易知，当 时，PA•PB有最大值 。

从以上二例可以看到：解决几何极值问题，往往从几何图形中常量与变量的关系入手，巧用三角函数找出F与变量、常量之间的表达式，利用三角函数的有界性得出问题的答案。

参考文献

1 张凤清.特殊化方法在数学解题中的应用［J］.数学通报，2008（8）

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文