统计量中平均数、众数和中位数的区别与联系

【前言】统计量中平均数、众数和中位数的区别与联系由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。（一）平均数的意义 小学所学的平均数，指的是求一组数据的算术平均数。而现行小学数学课程里的平均数知识，重要的又不是算术平均数的定义，而是它所包含的统计意义。算术平均数是所有观察值的总和除以总频数（一组数据的总个数）所得的商，简称平均数或均数、均值。...

摘要：学生在学习统计与概率知识时，对平均数、众数和中位数这三个统计量往往混淆不清，容易弄错，尤其表现在做练习中。因此，指导学生弄清它们之间的区别与联系是非常必要的。

关键词：平均数；众数；中位数；区别与联系

中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1009-010x（2012）11-0059-02

在小学六年级毕业复习过程中，当讲到“统计与概率”内容时，有些学生对其中的平均数、众数和中位数这三个统计量的意义、区别和联系、应用等混淆不清，容易弄错。怎样正确认识统计量中的平均数、众数和中位数的区别与联系呢？

一、平均数、众数、中位数的意义

（一）平均数的意义

小学所学的平均数，指的是求一组数据的算术平均数。而现行小学数学课程里的平均数知识，重要的又不是算术平均数的定义，而是它所包含的统计意义。算术平均数是所有观察值的总和除以总频数（一组数据的总个数）所得的商，简称平均数或均数、均值。算术平均数是统计学中最常应用而又最容易理解的一种集中量指标。集中量是代表一组数据的典型水平或集中趋势的量，它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。但平均数易受两极数值（极大或极小）的影响。

在小学三年级学习平均数时，是在学生已经学过的“总数量÷总份数：每份数”的基础上学习的，求平均数的方法是“总数量÷总份数=平均数”，前后两者有着密切的联系。但已学过的“总数量÷总份数=每份数”是指平均分。“平均数”与“平均分得的结果”不是一个概念。“平均分得的结果”是一个实实在在的数量，“平均数”则是表示统计对象的一般水平。这是学生很容易弄错、混淆的地方。

（二）众数的意义

众数指的是在一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。众数重点是对各数据出现的次数的考察，是一组数据中的原始数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它在一定的条件下能反映这组数据的整体水平。当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。一组数据中的众数有时不只一个，可能有两个或两个以上。例如：在数据“2、1、6、3、2、3”中，2和3都出现了两次，它们都是这组数据的众数。

（三）中位数的意义

中位数指的是把一组数据中的所有数据按从小到大或从大到小的顺序排列之后，处于最中间位置的那一个数据（有偶数个数据时，则指最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数。中位数只与数据排列的位置有关，一般来说，个别（或部分）数据的变动对它的中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中的趋势。例如：在"30、7、15、17、9、28、20"这组数据中，如果20变成104，它的平均数由18变为30，显然不能反映这组数据的一般水平，用中位数17显然要更好一些。

二、平均数、众数和中位数的区别与联系

（一）平均数、众数和中位数的区别

1.平均数是一个虚拟的数，即一组数据的和除以该组数据的个数所得的商；而中位数并不完全是虚拟数，求中位数时必须分奇偶。

2.平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的大小变动，都会引起平均数大小的改变；而中位数则仅与一组数据的排列位置有关。

3.平均数主要反映一组数据的平均水平（或总体水平），中位数能更好地反映一组数据的一般水平。这是因为如果一组数据中个别数据严重偏大时，平均数也偏大，不能很好地代表该组数据的一般水平；而中位数则能克服这种弊病，很好地反映这组数据的一般水平。所以，当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。

4.中位数仅与数据的排列位置有关。一般来说，部分数据的变动对它的中位数没有影响。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数来描述其集中的趋势。

5.众数着眼于对各数据出现的次数的考察，是一组数据中的原始数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它在一定的条件下能反映这组数据的整体水平，近似于中位数。

6.在同一组数据中，平均数、众数、中位数也各有其特性：中位数与平均数都是唯一存在的，而众数不是唯一的，众数的个数可以有一个或几个，也可以一个也没有；平均数、众数、中位数在一般情况下各不相等，但在特殊的情况下也可能相等。例如：在“5、5、5、5、5、5、5、5”这组数据中，平均数、中位数和众数是相等的，都是5。

（二）平均数、众数和中位数的联系

平均数、众数和中位数都是描述（或反映）一组数据集中趋势的量，都叫统计量，它们在统计中，有着广泛的应用。

平均数非常明显的优点之一是：它能够利用所有数据的特征，并且好计算。另外，在数学中，平均数是使误差平方达到最小的统计量。也就是说，利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，所以容易受极端数据的影响。例如：在一个年轻教师占多数的学校教职工中，有两个老教师的工资特别高，就会使得这个学校中所有教师工资的平均水平也表现得很高，但实际上，除去这两个老教师外，剩余教师的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是表现这个学校所有教师工资平均水平更合理的统计量。中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。由于各个统计量有各自的特征，所以，需要根据实际问题来选择合适的统计量。

当然，出现极端数据不一定用中位数，一般统计上有一个方法，就要认为这个数据不是来源于这个总体的，因而要把这个数据去掉。例如：在“六·一”儿童节活动中进行歌咏比赛评分时，总是要在几个评委的评分中去掉一个最高分，一个最低分，就是认为这两个分数不是来源于这个总体，不能代表评委的鉴赏能力。于是，去掉以后再求剩下数据的平均数。

最后需要说明的是：在现行小学数学教科书中，并没有给平均数、众数、中位数下准确的定义，并且，统计学中也不只有这三个统计量，数学中还有诸如方差、加权平均数、标准差等许多用来刻画数据特征的统计量。当然，这些都是作为教师感兴趣、值得了解的内容，不是小学数学教学所要求的。