经验,数学教学的应有视角

苏联教育家赞可夫说过：“教会学生学会思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱。”会思考的学生是最具发展潜质的，富有思考气息的课堂是灵动飞扬的。思维飞扬的课堂，是一种活性的课堂，跃动着智慧与生机；也是一种挑战的课堂，充满着碰撞与交锋；还是一种层级的课堂，流淌着思维发展的轨迹。在这样的课堂中，学生不仅能够自主建构起脉络清晰的知识体系，获得解决问题的策略，更重要的是能够感悟到数学知识的本源价值，积累丰富的数学活动经验。学生已有的操作、探究、思考、综合等数学活动经验，能激起学生思维的灵动与飞扬。同时，智慧宽广的思维又有助于学生建构系统完整的知识体系，积累更丰富的活动经验，促进学生数学思维水平和数学素养的提升。

一、相似的经验――提领结构，凸显思想

1.纵向求同，把准显性结构

数学学习的内容因其逻辑结构而有序深化，学生的学习也因其结构性引导而有序生长。纵向梳理教材中相关内容的发展顺序，以串联的方式呈现内容的显性结构，能使学生清晰地把握知识发展的脉络，找准新知的生长点。新知的出现充分激活了学生原有相似的经验理解，运用探究和发现的方法，让学生用自己的头脑获得知识。正如布鲁纳所说：“学生掌握了结构，就获得了一个学科的基本概念的能力；然后，学生就可以利用这些基本概念把它们当作认识和攻克其他问题的基础。”

2.纵横交错，凸显隐性思想

相邻的概念具有“隐约的相似性”因素，从而使它们之间存在“隐约性”联系。这些隐性的相似点包括知识结构、思考方法、操作方式等。在探究新知时，可以通过对话、讨论、演示和练习等多种渠道，创造恰当的学习情景，启发学生找到新识与旧知之间的联系，挖掘隐藏在知识背后的数学思想方法，从而将新知纳入已有的认知结构中，以不断完善自己的认知结构。正如施瓦布主张的：“探究教学中，要让儿童亲自体验到学科知识和方法的结构特点和差异，亲自体验到学科实质结构的可修正性和多样性。在学生体验学科结构、科学知识的灵活性的同时，形成探究的灵活性。”

案例1：五年级下册“异分母分数加减法”

（1）唤醒：用竖式计算。

[2 3 5

+ 8 9] [3. 6

- 1. 9]

（2）说一说：竖式计算时要注意什么？（相同数位对齐，从低位算起。）

（3）小结：整数、小数的计算，首先要相同数位对齐，也就是相同的计数单位相加减。

（4）出示例题：明桥小学有一块长方形试验田，其中种黄瓜，种番茄。种黄瓜和番茄的一共占这块地的几分之几？

让学生独立思考，可以借助折一折、画一画、算一算等方法。

生1：化成小数。+=0.5+0.25=0.75=。

生2：通分相加。+=+ =。

师：同学们用不同的方法探索出了+的算理，这些方法有什么共同之处呢？

生：把不能直接相加的分数，想办法转化成小数或同分母分数，再相加。

师：用你最喜欢的方法来试一试：+=？（学生研究的时间稍长）

生：先通分再相加：+=+=。（绝大多数的学生选用了这种方法）

师：为什么你们都选用通分的方法？

生：我觉得还是通分的方法比较通用，无论怎样的两个分数都可以转化成同分母分数。

师：那让我们一起再来重点研究这种“先通用，再计算”的方法。

学生在学习“异分母分数加减法”时，“分数单位不同，不能直接相加减”的矛盾引发了学生思维的不平衡。教师先引导学生复习“整数与小数”的竖式计算方法，并追问计算时的注意点，唤醒了学生对算理的回忆，及时提炼算法。这些已有的相似经验的激活与沟通，为学生主动探索新知提供了基础。学生借助算法的相似经验，主动将新内容纳入已有的认知结构，对其进行分解、转化。“画图表示”唤起学生头脑里的图示经验，借助直观形象的长方形理解算理；“化成小数”唤起学生头脑里的小数加法经验，运用转化的策略与思想来探究结果；“通分相加”则唤起学生“统一分数单位”的经验，对异分母分数进行加工转化。学生思维的角度不同，也带来了学生运用经验解决问题时的差异。接着，教师组织学生探究更复杂的异分母分数加法计算，学生在研究中自主自觉地将方法聚焦于通分，实现了自主优化的目的，也体现出“先通分再计算”的普遍适用性。

二、干扰的经验――本质辨析，修正偏颇

1.突出主干，建构认知网络

学生的学习过程是运用经验，主动建构认知网络的过程。在学习过程中，已有的认知经验会对学生的学习产生一定影响，这就是迁移的作用。正迁移的积极作用会推动学生建构，而负迁移的消极作用则会阻碍学生对新知的建构。突出概念的主干，能把新问题与过去所熟悉的知识进行分析、类比、联想，有机地联系起来，找出它们之间的内在联系，运用迁移的积极作用帮助学生理解概念的本质内涵，以点带面地建构起知识结构。只有以数学的基本概念、基本原理及其规律和联系为要素，把知识的基本结构教给学生，才能使学生达到知识、能力、态度的迁移，从而提高学习效率。

2.比较辨析，修正错误偏差

比较常能使模糊变清晰，错误变正确。新知学习的过程既是对已有经验的扩充完善，更是运用经验解决新问题的探索再造。错误是有意义的学习所必需的。让学生在学习中犯些错误不仅是应该的，而且是有益的，可以使学生通过自我调节而达到认知平衡。错误也会引导学生顺应自己的知识结构，并把观察到的结果同化到修正过了的知识结构中去。当学生的思维受阻或发生偏差时，给予学生时间和机会，在比较辨析中不断修正错误或偏颇的认识，形成科学正确的数学概念与理解，经历多次循环往复的锤炼，学生的思维会更科学、简洁，积累的活动经验才会具有数学味，具有无穷的张力。

案例2：三年级下册“认识几分之一”

每份是这盘桃的 每份是这盘桃的

生1：左边的每一份可以用表示，右边的每一份可以用表示。

生2：我觉得右边的每一份应该用表示。

师：现在出现了两种不同的结论，你们是怎样想的呢？

生1：左边有4个桃，平均分成4份，每份就是。右边有4个桃，平均分成2份，每份就是。

生2：我觉得右边是把4个桃平均分成了2份，每一份就是。

师：他们两位同学争论的焦点在于“看个数”，还是“看平均分的份数”。其他同学呢？

生：我认为分数的分母表示平均分成了几份，分子表示取了其中的几份。右边是把4个桃平均分成了2份，其中的1份就是这盒桃的。

生4：我发现看图写分数，要看平均分的份数。

师：是的，我们在研究分数的时候，关键要看平均分成了几份，其中的1份就是几分之一。像这里，同样是把4个桃看成一个整体，但平均分的份数不同，那么其中的一份所表示的分数就不同。当然，我们到五年级还会学习，其实和是大小相等的，但意义不同。

生1：哦，我明白了。平均分成了4份，分母就是4，平均分成了2份，分母就是2。

学生已经认识了“把一个物体平均分成几份，每份是这个物体的几分之一”，本课是在此基础上学习“把一些物体看成一个整体，平均分成几份，每份是这个整体的几分之一”。“整体的几分之一”是认知的难点，需要打破学生原有认知结构中的“一个物体的几分之一”对学生建构新知造成的干扰。学生往往停留在“几个物体就是几份”的原始认知上，不能用原有的认知图式同化新知，需要对原有图式进行修改或重建，以适应新知的变化，不断达到认知平衡。

三、断裂的经验――果敢介入，设置阶梯

1.提供脚手架，找准最近发展区

当学生应用原有的知识经验不能解决新问题时，除了给予学生充分的时间讨论与思考外，教师要及时干预指导，为学生的思考提供适度的“脚手架”，让他们“跳一跳，能摘到果子”。适时适度的帮助使学生的思维跳出了原有的定势，走出了暂时的困境，实现了思维上的飞跃，感受到了另一种思路的别有洞天之处。

2.拓展延伸，明晰思维层级

学生的思维是在不断丰富与拓展中逐步提升的，在学习过程中学生不时会遇到挫折与坎坷。我们要做他们思维发展路途中的引路人，为他们创设更多具有挑战性的内容与问题情境，在他们“够得着”的思维区间里点拨、解惑，触发学生的思维向更深更宽处延伸，经历豁然开朗的顿悟过程，为解决复杂问题提供更新更宽广的思路。

案例3：五年级下册“圆的面积”

[右图中正方形的面积是8平方厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米？] [O]

生1：求涂色部分的面积就是求个圆的面积，根据圆的面积计算公式S=πr2，就要知道半径是多少。这里的半径不知道，不太好解决……

生2：如果正方形的面积是9平方厘米的话，就好办了。

（我听出了学生的困惑所在，这正是解决问题的关键。于是，我顺势一改，把正方形的面积改成了9平方厘米。学生拿起笔算了起来。）

生3：9=3×3，π×r2=3.14×32=28.26（平方厘米）。

生4：现在的半径是3厘米，圆的面积就好求啦。

（我在算式中把32框了出来：π [r2] =3.14×[32] =28.26（平方厘米），并在下面写上9，及时追问：你们有什么发现吗？）

生5：我发现了！其实，这个“半径的平方”可以直接应用，而不必去算出半径是多少。原来那个问题可以解决了。

经他这么一说，其他同学慢慢地明白过来。再组织学生辨析、计算：π[r2] =3.14× [8] =25.12（平方厘米），涂色部分的面积是25.12÷4×3=18.84（平方厘米）。

在学生解决了问题后，组织学生回顾解决问题的过程：开始你为什么觉得难，甚至无从下手？后来得到了哪些帮助？有什么启示？

当学生面对稍复杂且高于原有认知水平的问题时，往往会出现畏难情绪，思路受阻，暂时找不到解决问题的方案。上例中，学生的思维受困于圆的面积计算公式，受困于半径的长度。面对学生的困惑与无奈，教师给予学生充分的思考时间，让他们说说自己的想法和困难之处，学生在讨论中得到启发，思路慢慢畅通。正如一位学生所说“如果正方形的面积是9平方厘米就好了”，教师紧紧抓住这一有效信息，果断介入，顺水推舟地“改题”，实则是借助对比指引学生发现解决问题的“突破口”。最后，教师及时组织学生回顾解决问题的过程，引领学生反思解决这类特殊问题的思路，有效地帮助学生积累解决这类非常规问题的经验。?