学会思考比学会知识更重要

《数学课程标准》（2011年版）进一步明确了教育理念由“知识为本”转为“育人为本”，课程目标由“双基”拓展为“四基”，体现了对于数学课程价值的全面认识。学会思考的重要性不亚于学会知识，教会学生运用数学的思维方式去想问题（也称为数学的理性思维，包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，合情推理和演绎推理等）将使学生终身受益。数学课程进行的全过程，都应以具体知识与技能的学习为载体，注重培养学生的数学思维和数学推理。就《长方体的认识》的教学而言，就应该要求学生不仅掌握长方体的基本特征和长、宽、高等数学知识，更要让学生经历长方体特征的探究与应用的过程，使学生在独立思考、探索实践、合作交流、推理论证的过程中，学会数学思考，积累数学活动经验，增强推理能力和创新意识。

教学片段一：

（学生通过自主探究、合作交流得出“长方体的特征”之后）

师：你怎么证明“长方体相对的面完全相同”呢？

生：我是看出来的，相对的两个面看起来都一样。

生：我是用尺子测量的，测量前、后两个面的长和宽，发现它们的长与长相等，宽与宽相等，长×宽=长×宽，面积一样大。其他相对的面也是这样，所以，相对的面完全相同。

师：不错，观察、测量都是好方法。除此之外，还有别的方法来证明吗？

教室里顿时安静下来，同学们陷入了沉思，又开始仔细观察起长方体学具来。

生：我发现“前面”的长和“后面”的长是“上面”这个长方形的一组对边，因为“长方形的对边相等”，所以这两个长就相等。同样道理，两个宽也相等。长×宽=长×宽，所以，相对的面完全相同。

师：用“长方形对边相等”的旧知识来解决新问题，真是好方法！刚才同学们还数出了长方体有12条棱，除了“数”的方法，你还有别的办法吗？

学生再次陷入沉思，少顷，开始自发地讨论起来。

生：因为每个面上都有4条棱，长方体共有6个面，就有4×6=24（条）棱。又因为每条棱都出现在2个面内，刚才重复计算了，所以要再除以2，等于12条棱。

师借助长方体教具，帮助学生明确“棱是两个面相交的线”，因此，每条棱都同时在两个面内。

师：刚才我们也数出来了“长方体有8个顶点”。如果不“数”，你有办法知道吗？

生：我是这样想的，因为每个面都有4个角（顶点），共有6个面，就有4×6=24（个）顶点。但是因为每个顶点都同时出现在3个面内，刚才重复计算了，所以要除以3，24÷3=8（个）顶点。

师借助长方体教具，帮助学生理解上述算法。

生：我的想法是，因为长方体有12条棱，每条棱都有2个端点，所以是12×2=24（个）顶点。又因为每个顶点都出现在3个面内，所以共有顶点24÷3=8（个）。

……

思考：推理能力是《数学课程标准》（2011年版）概括出的十个核心概念之一，“推理能力的发展应贯穿整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。

关于“长方体相对的面完全相同”，不满足于学生想到的“观察和实验”的方法，而是有意渗透一些演绎推理，引导学生用推理、论证的方法根据已有的知识推出这个结论。关于“长方体棱的条数和顶点个数”，不满足于学生能“数”出正确的结果（逐个计数或按群计数），还引导学生在计数的基础上进一步从已有的知识进行推算，从而实现了“直观几何、实验几何与论证几何的结合”，有效培养了学生的推理能力，促进了理性思维的发展。上述教学的成功，也再次说明“好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一”。教师的精心设问和引导有效地启发了学生的思考，使学生真正成为学习的主体。

教学片段二：

（出示长方体直观图）

师：请大家仔细观察这个“长方体直观图”，记住它的形状和大小，然后闭上眼睛在脑海里想象这个长方体的样子。

生闭眼想象。

师：如果擦去一条棱，你还能想象出这个长方体的形状和大小吗？（课件演示擦去一条棱）

生：能。因为相对的棱长度相等，我看到下面的棱，就能想到上面的棱的长度了。

生：我是想“面”的，因为相对的面完全相同，我看到“后面”的样子，就想到了“前面”。

师：如果再擦去三条棱，你还能想象出原来的样子吗？（课件演示）

生：能。根据“相对的面完全相同”就能想到不完整的面是什么样子。

课件演示：又陆续擦去几条棱，只剩下相交于一个顶点的三条棱。

师：如果再擦去水平方向的这条棱，你还能想到这个长方体的形状和大小吗？（课件演示）

生：不能了，不知道它到底有多长了。

师：如果不擦去它，而是擦去别的棱呢？

生：也不行，因为就不知道这个长方体有多高、多宽了。

生：老师，我发现了，相交于一个顶点的这三条棱都不能擦去，无论少了哪一条，长方体的形状和大小就不确定了。

师：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。长方体的长、宽、高决定着长方体的形状和大小。

思考：“教材是教学法的颠倒。”（弗赖登塔尔）“将冰冷的美丽转化为火热的思考。”需要教师把教材内容动态化，而不仅仅是静态呈现。教学不仅仅是教结果，更重要的是揭示知识的数学实质，让学生理解结果是怎么得出来的，体会数学知识之间的关系，学会怎样去想问题。

在数学教学中，学生是否理解一个概念不在于能否说出它的“定义”，而在于能否把握概念的本质，能否在具体情境中运用该概念解决问题。就“长、宽、高”的教学而言，知道“长、宽、高的定义”，是否就意味着学生理解了长、宽、高对于长方体的重要性？恐怕未必。而经历了上述“观察—想象—归纳”的学习过程，学生才深刻地体会到“长、宽、高决定着长方体的形状和大小，一旦长、宽、高确定了，长方体的形状和大小也就确定了”。

教学片段三：

先出示“小棒图”（如图1所示），让学生判断“下面的小棒能不能搭成一个长方体”；再通过课件对小棒进行整理（如图2所示）；然后让学生去想象搭成的长方体会是怎样的；最后再课件分步演示，形成完整的长方体（如图3、图4所示）。

思考：“长方体的特征”如何才能深入脑海？如何才能在需要运用的时候灵活调用？这仅凭之前的实物触摸、课件观察还远远不够，尚需要依赖于丰富的数学活动作支撑。需要指出的是，教学中仅有“活动”是不够的，应该追问“活动为了什么”。那些有明确的数学内涵和数学目的，体现数学的本质的“活动”，才能称得上“数学活动”。数学活动更强调“动脑”，不能把数学活动仅仅停留在“手和口”的层面上，而要更多地聚焦在“数学思维”的层面上。

基于此，才安排了上述“判断下面的小棒能不能搭成一个长方体”的数学活动，变“动手操作”为“动脑操作”，让学生应用长方体特征解决问题。如果小棒图中的小棒可以找到3组，每组都有长度相等的4根小棒，那么这些小棒就可以搭成一个长方体，否则不能。判断的过程是对长方体棱的特征的应用。同时，观察并比较小棒的长短，让静止的小棒通过想象搭起来，根据部分想象整体，这样的数学活动可以有效地发展学生的空间观念。