培养学生敢于尝试的探究精神

2015年上海高考数学题试图克服遇到题目就模式化的弊病，试题中既要求数学的双基运用能力又增强了一定的思维量.试图鼓励学生要有想法，要敢于尝试，可以说较之以往的考题有所创新和突破.

本文例举几道题，对考题进行一定的分析与理解.

一、关注分析与联想

题1 （理科卷第13题）已知函数f（x）=sinx.若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1

.

分析 题目中求m的最小值，对应着图像上的点Ai最少，作出函数y=sinx，x∈[0，6π]的图像，图像从左到右的最高点和最低点依次为A1，A2，…，A6.如此可以设想使|f（xi-1）-f（xi）|（i∈N*）越大越好，它的极值是|f（xi-1）-f（xi）|=2.

有了这一想法，看似要讨论判断的复杂问题就转化为简单的问题.

继续探究，|yA1-yA2|=2，|yA2-yA3|=2，…，|yA5-yA6|=2，

此时m=6，|yA1-yA2|+|yA2-yA3|+…+|yA5-yA6|=10，

观察图形，结合点O和点（6π，0）的位置，容易得出m的最小值为8.

其实，事物的发展变化是相辅相成的，如果善于观察和分析，那么就会从求m的最小值联想到|sinx|的最大值为1，进一步达成问题的解决.

二、较强的双基运用能力

题2 （理科卷第14题）在锐角三角形ABC中，tanA=12，D为边BC上的点，ABD与ACD的面积分别为2和4.过D做DEAB于E，DFAC于F，则DE・DF=

解析 由已知，SABD=12AB・DE=2，DE=4AB；同理，DF=8AC.

则DE・DF=-DE・DFcosA=-32cosAAB・AC

①

到这里，似乎感觉无路可走了，但是如果双基比较扎实的话，会注意到已知条件和分母的特点，再一次联想到ABC的面积，即：12AB・ACsinA=6，则有：

AB・AC=12sinA

②

将②代入①有DE・DF=-43sin2A，因为tanA=12，易得结果为-1615.

此题虽然为填空题，却需要一步一步探究下去.而要求解出正确结果，必须有较强的数学双基的运用能力.

三、不拘一格，努力创新

题3 （理科第18题）设Pn（xn，yn）是直线2x-y=nn+1（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限limn∞yn-1xn-1=（ ）.

A.-1 B.-12 C. 1 D. 2

解析 题目要求是求两曲线交点坐标构成的极限.

依照常规解法，联立方程组2x-y=nn+1

x2+y2=2，得出交点坐标xn=f（n）

yn=g（n），再代入表达式求极限.然而这样容易想的思路却很难通过初等运算得出结果，前景不明.

不妨改变一下思路，先对n取一些特殊值，来观察直线系与圆的位置关系.

当n=1时，l1；2x-y=12；当n=2时，l2∶2x-y=23；…….

易知随着n的逐渐增大，这组平行的直线系依序向下平移.

当n∞时，nn+11，且有xn-10.

从而当n∞时，lnl∶2x-y=1

则可得出：

limn∞yn-1xn-1=-1.

故选A.

通过此题的分析，我们不难发现，在解决问题的过程中，关注了从特殊到一般以及数形结合的思想方法，充分体现了思维的深刻性.要能够从运动的角度出发，观察由数到形的变化所引起的质的改变.在这里，创新是有原则的，也有综合运用各种工具条件的创新.本题视为改变思路利用极限思想解决问题的一种方法，很好的考察了学生的数学思辨能力.

四、变“不知”为“可知”，总在探究中完成

题4 （文科第22题（3））已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记AOC的面积为S.

（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=12|x1y2-x2y1|；

（2）设l1∶y=kx，C（33，33），S=13，求k的值；

（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变.

解析 （1）、（2）略.对于问题（3），根据中学数学要求，首先要建立函数关系式S=f（m），再讨论m为何值时，S为定值.

利用（1）的结论S=12|x1y2-x2y1|，l1∶y=y1x1x，l2∶y=y2x2x，

由此得出

y1y2=mx1x2

①

那么如何建立S与m的联系呢？

A，C在椭圆上得：x21+2y21=1

x22+2y22=1，进而得出：

x21x22+4y21y22+2x21y22+2x22y21=1

结合①变形：

x21y22+x22y21=1-x21x22-4y21y222

=1-x21x22-4m2x21x222=1-（1+4m2）x21x222

②

又S2=14（x21y22+x22y21-2x1x2y1y2）

③

将①②代入③整理得：

S2=18[1-（1+2m）2x21x22]

④

要想让S2恒为定值，只需要1+2m=0，即m=-12时，S为定值24.

这里我们看到，当结果化成④的形式的时候，尽管除了m仍然含有两个字母x1，x2，但是却不会影响到最后结果的得出，所以这样的大胆探究就达成了将“不知”化为“可知”的目的，问题也就迎刃而解了.

五、有想法，再探究

题5 （文科卷第23题）已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2（bn+1-bn），n∈N*.

（Ⅰ）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{an}的第n0项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n0项是最大项；

（Ⅲ）设a1=3λ

解析 （Ⅰ）、（Ⅱ）略.对于（Ⅲ）：

（1）很容易求出an=2λn+λ

（2）下面的想法是：对任意m，n∈N*，如何解决？

如果{an}中有最大值ai，或有最小值aj，或有limn∞an=a，那么就有可能an∈[aj，ai]或an∈[aj，a]或an∈[a，ai]，如此就可以变无限为有限来探究问题.

（3）y=λn属于指数范畴，由a1=3λ

aman∈（16，6）可得a2=2λ2+λ

a2k=2λ2k+λ=2|λ|2k+λ，a2k-1=2λ2k-1+λ=-2|λ|2k-1+λ，

通过图像作进一步观察：

由y=|λ|2k（k=1，2，3…），|λ|

在y=-|λ|2k-1（k=1，2，3，…）中，|λ|

所以{an}中最大值为a2=2λ2+λ

（4）进一步探究，am，an必须满足下式：0

（5）建立关系a2a1>16

a1a2

-12

即2λ2+λ3λ>16

3λ2λ2+λ

-12

可得：-14

通过这样的探究尝试，能够熟练准确运用双基，求得了当-14

通过如上几道题目的解析，深深感觉到，这样的问题设置，促使我们在今后的高中数学教学中进一步要克服“模式化”，积极培养学生敢于尝试的探究精神，提高学生的数学思维品质.

（收稿日期：2015-10-22）=1|OA|2+1|OB|2=a2+22a2+8+1a2+4=12