整体思维:把握数学知识的“昨天”“今天”和“明天”

[摘 要]整体思维，指从学习者已有的经验和知识出发，以全面、联系、发展的观点来整体处理教学内容，了解数学知识的“昨天”“今天”和“明天”，并灵活地把握各种教学关系的动态平衡，创新地组织教学，实现最优化实施教材和最大化发展学生的目标。

[关键词]整体思维 数学知识 昨天 今天 明天

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）23-020

整体思维又称系统思维，它认为整体是由各个局部按照一定的秩序组织起来的，要求以整体和全面的视角把握所要学习的知识对象。也就是说，课堂教学中，教师要引导学生整体把握所学知识，从而避免“只见树木，不见森林”的单一与狭隘，有效提升学生的思维能力。

整体思维，以“昨天”的知识结构作为思维起点，以“今天”的整体关注形成思维建构，以“明天”的展望延伸实现融会贯通。下面，我以“三角形的面积”教学为例，简要阐述在整体思维引领下，如何把握数学知识的“昨天”“今天”和“明天”。

一、“昨天”：“你从哪里来？”――选准教学起点，快速进入“最近发展区”

1.师（出示一个长方形）：长方形的面积怎么求？

生：长方形的面积=长×宽。

2.师（出示以下五个图形）：这五个长方形的面积一样，阴影部分的面积谁最大？

生1：阴影部分的面积好像一样大，因为它们好像都是长方形面积的一半。

师：直觉很重要。这位同学的直觉对不对呢？需要我们开动脑筋积极思考，然后进行验证。请仔细观察，这五个长方形中的阴影部分都是什么图形？

生：三角形。

3.师（板书课题）：今天这堂课我们一起来探索“三角形的面积”。在这五个长方形中，哪一个能让你一目了然地知道三角形的面积就是长方形面积的一半？

生：第四个。

师：其余四个长方形可以通过怎样的操作或思考，来验证刚才那位同学的直觉呢？

生2：可以添线将它分一分。（师根据学生回答添加辅助线，如下图）

师：很佩服同学们的创造力。经过操作，我们验证了阴影部分的面积都是所在长方形面积的一半。

4.师：请大家拿出准备好的长方形纸，在纸中画一笔，画出一个三角形。（学生操作如图{10}）

师：是不是在长方形中画一笔，只能画出这样的三角形呢？（学生经过思考，又画出图{11}）

5.师：我们只要量出哪些数据，就可以求出三角形的面积？

生3：只要量出三角形所在长方形的长和宽，就可以求出三角形的面积。

师：怎么求？

生3：长×宽÷2。（师板书：三角形的面积=长×宽÷2）

师：以图⑤为例，长方形的长等于三角形的什么，宽等于三角形的什么？

生4：长等于三角形的底，宽等于三角形的高。（师更改板书：三角形的面积=底×高÷2）

……

关于“昨天”的理解

教学起点是指教师对某一内容教学时所设定的起点。数学教学起点的确定，不能仅仅立足于数学知识的掌握，应着眼于学生思维的“最近发展区”，使他们“跳一跳，摘到果子”；不仅关注学生数学知识和技能的掌握，更要关注他们数学思维能力与问题解决能力的培养。

教学“三角形的面积”一课，教师通常都是想办法引导学生将三角形转化成平行四边形，但追本溯源，平行四边形面积是通过长方形面积推导出来的。因此，我在教学的第一环节时，以长方形的面积为起点，引导学生通过观察、比较、操作等活动，寻找三角形与所在长方形之间的内在联系，初步探索出三角形的面积计算公式。这样教学，为学生提供了带有一定难度的学习内容，调动了学生思维的积极性，发展了学生的潜能。

二、“今天”：“你来干什么？”――整体关注图形，迅速进入思维顺延区

1.师：不知道大家留意到没有，我们刚才研究的三角形其实是什么三角形？

生：直角三角形。

师（出示一个直角三角形）：如果有两个完全一样的直角三角形，你能拼成一个长方形吗？（学生操作如图{12} ）

师：这是将直角三角形的斜边拼在一起，如果将相同的直角边拼在一起，会拼成什么图形呢？（学生思考后操作，如图{13}）

生5：拼成的是平行四边形。

师：平行四边形的面积和三角形的面积有什么关系？

生6：平行四边形的面积是三角形面积的2倍，三角形的面积是平行四边形的一半。

师：平行四边形的面积怎么求？

生7：平行四边形的面积=底×高。

师：平行四边形的底等于三角形的什么，高等于三角形的什么？

生8：平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。

师：那三角形的面积可以怎么求呢？

生9：三角形的面积=底×高÷2。

师：为什么要除以2呢？

生10：因为是用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形。

2.师：我们刚才研究的是两个完全一样的直角三角形拼成的平行四边形，所以拼成的长方形也是特殊的平行四边形。三角形按角分类，除了直角三角形外，还有什么三角形？

生11：还有锐角三角形和钝角三角形。

师：请男生用两个完全一样的锐角三角形拼一拼，请女生用两个完全一样的钝角三角形拼一拼，看看能拼成什么图形。（学生动手操作）

……

关于“今天”的建构

以往以长方形为教学起点，引导学生初步探索三角形面积计算的过程，学生充其量只是表层意义上的学会，并没有通过大量的感性经历实现知识的整体建构。加之小学生的思维以具体形象思维为主，知识的整体建构需要操作经验来支撑。因此，我让学生分组操作锐角三角形和钝角三角形，全方位感受各种三角形面积计算公式的殊途同归。学生在将直角三角形拼成平行四边形中受到启发，学会了动手操作的方法，后面锐角三角形、钝角三角形的拼摆也就顺理成章，实现了数学思维的顺延。这样全面关注各种三角形的教学，能帮助学生形成相互联系、全面系统的认知脉络。

布卢姆在《教育过程》中说过：“获得的知识如果没有完整的结构把它们连在一起，那是一种多半会遗忘的知识，而一连串不连贯的知识在记忆中仅有短得可怜的寿命。”我们知道，教学过程中知识的传授是逐步进行的，学生对所学新知的认识往往是片面的、孤立的。因此，教师教学时必须将注意点放在教学内容的整体把握上，引导学生进行整体的思维建构。

三、“明天”：“你到哪里去？”――展望知识未来，贯通进入拓展延伸区

1.师（出示下图）：将三角形从高的一半处剪开，并把剪开的小三角形旋转拼补，形成了什么图形？

生12：平行四边形。

师：平行四边形的面积和三角形的面积有什么关系？

生13：平行四边形的面积和三角形的面积相等。

师：这时，平行四边形的底等于三角形的什么，高等于三角形的什么？

生14：平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形高的一半。

师：三角形的面积可以怎么求？

生15：三角形的面积等于底乘高的一半。

2.师：将上面平行四边形中的阴影部分除去，剩下的空白部分是什么图形？

生：梯形。

师：怎么推导梯形的面积计算公式呢？我们可以借鉴三角形的面积公式推导方法，请同学们回去预习一下。

……

关于“明天”的延伸

从学生的学习角度来看，数学学习应该是思维过程和结果的完整结合。因此，教师在教学中应努力创造条件和机会，让学生通过手、口、脑等感官的协同运作，亲历知识的再创造和再发现的过程。如上述教学中，三角形到平行四边形的转化，立足学生刚刚形成的认知经验和知识结构，引导学生完成对已有知识结构的拓展延伸、优化重组。

著名数学家G・波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的规律、性质、联系。”如上述教学中关于梯形面积的预习要求，则给学生提供了再次利用已获得的经验方法去寻找事物的共同特征和本质规律的机会，使学生在一次次的探索活动中，将好奇心和求知欲转化为浓厚的数学学习兴趣。

总之，整体思维是指从学习者已有的生活经验和知识背景出发，以全面、联系、发展的观点来整体处理教学内容，了解数学知识的“昨天”“今天”和“明天”，把握教学内容“过去”“现在”和“未来”，灵活地把握各种教学关系的动态平衡，创新地组织教学，实现最优化实施教材和最大化发展学生的目标。我在平时的教学中发现，当学生进行有效的整体思维时，得到的是整个经验和情感的支持，调动了思维的主观积极性。可以肯定地讲，具有整体思维风格的人，必然具有较强的创新意识和全局意识。

（责编 杜 华）