夯实基础知识 注重学科思维 提升学习能力

2009年江苏高考将数列前移,符合“掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。能在具体的问题情境中识别数列的等差或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题”考试要求,预测2010年在数列上侧重考查等差、等比数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等知识的直接应用,且为容易题和中档题。针对今年高考试题体现的命题风格、命题形式,提高高考复习的针对性,对等差数列的通项及前n项和教学进行如下设计:

一、知识回顾

1.等差数列定义:an-an-1=d(n≥2,n∈N*)或an+1-an=d(n∈N*)

2.等差数列的中项:若a,b,c成等差数列?圳2b=a+c,若an成等差数列?圳2an=an-1+an+1

3.通项公式:an=a1+(n-1)d(讲解推导过程让学生体会累加法思想)

推广:an=am+(n-m)d

性质:若p+q=m+n则ap+aq=am+an

4.前n项和Sn=■=na1+■d(讲解推导过程让学生体会倒序相加思想)

二、例题讲解

1.基本公式的简单应用

例1 (2008宁夏第17题)已知an 是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.

(Ⅰ)求an的通项an;

(Ⅱ)求an前n项和Sn的最大值。

意图:本题是通项公式和前n项公式的直接应用,突出基本量的考查,属容易题;对于第Ⅱ问,方法一,通过从二次函数的观点的来求出Sn的最大值,方法二,通过具体项的值分析,很容易得出当n=2时Sn取最大值,通过此题的教学让学生体会到数列是特殊的函数,用函数有关知识解决数列问题。

2.■在解题中的应用

例2 (2008山东文第20题改编)将数列{an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1

a2 a3

a4 a5 a6

a7 a8 a9 a10

……

记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn｝,b1=a1=1。Sn为数列{bn｝的前n项和,且满足■=1(n≥2).

(Ⅰ)证明数列{■｝成等差数列,并求数列{bn｝的通项公式;

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列,且公差为同一个正数。当a82=■时,求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.

意图:本题第Ⅰ问考查等差数列的定义及Sn与an之间关系的应用,要求学生具有一定的运算求解能力,属中档题;对于第Ⅱ问与08江苏高考第10题类似,它考查归纳推理和等差数列求和公式。通过对本题的教学,巩固了学生所学数列知识、增强了学生归纳推理能力,提升了学生的数学素养。

三、课堂练习

1.(2009安徽卷理第15题)已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是__________.

2.(2007广东第13题类似于苏教版教材必修5P44第8题)已知数列{an}的前 项n项和Sn=n2-9n,若它的第k项满足5

本节课设计想法:

纵观今年各省高考试题,对数列问题更多地突出对等差、等比数列基本知识的考查,体现了通性通法、淡化特殊技巧的理念。这对中学数学教学有较好的导向,达到了以知识为载体,以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求。同时具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。

本节课首先回顾等差数列的概念、中项、通项公式及其简单性质、前n项公式。让学生体会了累加思想证明等差数列通项和倒序相加和前n项和中的应用;三个例题的教学不仅讲解了有关等差数列的基础知识,同时渗透了函数、方程思想和换元法的应用,提升了学生运算求解能力和归纳推理能力。数列对大部分学生来说,学起来困难,普遍认为公式太多,所以讲解时要注意:(一)要重视基本公式的推导过程。如:通项公式、前n项公式,使学生不仅知其然而且知其所以然;(二)对于一些结论,如奇数项与偶数项差、商之间的关系,奇数项的等差数列前n项和与中间项之间的关系等等,不要求学生去记忆,应当引导学生如何用基本公式、基本性质去推导它,这样不仅切实减轻了学生的负担,同时训练了学生的思维,提升了学生的学习能力。

作者单位:

江苏省盐城市第一中学

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