例谈高考“函数的零点”题型,把握“函数的零点”教学

摘 要：函数的零点是新课标新增内容之一，它是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，函数的零点充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想。诸如方程根的问题、存在性问题以及交点问题等都可以转化为零点问题来讨论，因而函数的零点成了近年来高考新的热点而备受青睐，且常常以选择题、填空题、解答题等不同的形式出现，是学生得分的拦路虎。

关键词：函数的零点；函数的零点题型；函数的零点解法；函数的零点教学

一、函数的零点问题在高考中的地位

函数的零点是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学（必修1）第三章的内容，因其内容沟通函数、方程、图像等知识点，大部分高考试卷都有相关内容的试题，针对这个命题资源，命题人将函数的零点题目展现得多姿多彩，并且出现了和导数融合的综合性问题，可见函数的零点在现在高考中的重量。随着新课程的深入推进，高考命题也由原来的知识立意逐步向能力立意转化，逐步在知识网络的交汇处命制试题，函数的零点也由原来的“知识性”逐步向“工具化”转变。函数的零点这一道高考美丽的风景线将是今后高考命题的热点和“增长点”。

二、近三年来高考函数的零点题型归类

认真分析研究近三年各地高考试卷，可以发现函数的零点这部分高考题大致有以下几种题型。

题型1：求函数零点的个数

例1.（2012年高考湖北文）函数f（x）=xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为 （ ）

A.2 B.3

C.4 D.5

解析：由f（x）=xcos2x=0，得x=0或cos2x=0；其中，由cos2x=0，得2x=kπ+■（k∈Z），故x=■+■（k∈Z），又因为x∈[0，2π]，所以x=■，■，■，■.所以零点的个数为1+4=5个，故选D。

例2.（2012年高考北京文）函数f（x）=x■-（■）x的零点个数为（ ）

A.0 B.1

C.2 D.3

解析1：函数f（x）=x■-（■）x的零点，即令f（x）=0，根据此题可得x■=（■）x，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B.

解析2：因为函数f（x）=x■-（■）x，可知f（x）在定义域内单调递增，且f（0）=-1

例3.（2012年高考湖南文）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0

A.2 B.4

C.5 D.8

解析：由当x∈（0，π），且x≠■时，（x-■）f′（x）>0，知x∈[0，■）时，f（x），f（x）为增函数。又x∈[0，π]时，0

解题方法归纳：这种题型的解法通常有两种，一是直接求出函数的零点，二是通过函数的图形（即数形结合）观察得到。数形结合可以考虑把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察两个函数的交点个数，也可以考虑函数的单调性来分析函数与x轴的交点，从而得到函数的零点个数。

题型2：寻求函数的零点所在的范围

例4.（2011天津高考理科）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是

（ ）

A.（-2，1）

B.（-1，0）

C.（0，1）

D.（1，2）

解析1：因为f（-2）=2-2-6

解析2：由f（x）=2x+3x=0可化为2x=-3x，画出函数y=2x和y=-3x的图象，可观察出选项C、D不正确，且f（0）=20+0>0，由此可排除A，故选B。

解题方法归纳：这种题型的解法通常有两种，一是利用函数的

零点存在性定理求解，通过所给的区间端点进行检验；二是通过函数的图形（即数形结合）观察得到，既把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察两个函数的交点的大致区间进行求解判断。

题型3：已知函数的零点情况，求参数问题

例5.（2011山东高考）已知函数f（x）=logax+x-b（a>0，且a≠1），当2

解析1：方程logax+x-b（a>0，且a≠1）=0的根为x0，即函数y=logax（2

解析2：由于20，因此，函数必在区间（2，3）内存在零点，故n=2。

例6.（2011辽宁高考文科）已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则 的取值范围是___________。

解析：由于f′（x）=（ex-2x+a）′=ex-2，故函数在（-∞，ln2）上递减，在区间（ln2，+∞）上递增，且f（x）极小值=f（ln2）=2-2ln2+a，结合函数的图像知若使得函数f（x）=ex-2x+a的图像与x轴有交点，只需f（x）极小值=2-2ln2+a≤0，解得a≤-2+2ln2，故a的取值范围是（-∞，-2+2ln2]。

例7.（2009山东卷文）若函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 。

解析：设函数y=ax（a0且a≠1）有两个零点，就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点，由图像可知当01时，因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点。所以实数的取值范围是{a|a>1}。

解题方法归纳：这种题型的解法通常是通过运用函数与方程的思想进行等价转化，转化为函数的图像进行分析，结合交点的情况确定参数范围。

三、如何把握函数的零点教学

从以上近三年高考函数的零点出现的题型总结分析，结合函数的零点这部分知识的特点，在函数的零点的教学中，应当在函数的零点的概念、定理及解题思路上下工夫，在关键问题上讲深讲透，使学生真正掌握，才能灵活应用知识。通过这一部分的教学，我认为在函数的零点教学中应当让学生清楚掌握两个方面：一是理解函数的零点的概念及定理，二是掌握函数的零点题型的解题思路及常见方法。

1.函数的零点的概念及定理

函数的零点的概念：对于函数f（x），我们把使f（x）=0的实数x 叫做函数y=f（x）的零点。所以y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，也就是y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标。函数的零点不是图象上的点，而是图像与x轴的交点的横坐标，是一个实数。教学中让学生清楚函数y=f（x）有零点？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点？圳方程f（x）=0有实数根。零点存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）・f（b）

2.掌握函数的零点题型的解题思路及常见方法

美国ERCK中学的校训：“让我看，我会忘记；让我听，我记不住；让我参与，我会明白。”弄懂了函数的零点的概念及定理，理解了函数的零点与方程的根的联系，在教学过程中可以把以上三种题型展现给学生，要引领学生参与到课堂中来，自己总结出各种题型的解题思路及方法。只有这样，才能让学生真正弄懂了知识的来龙去脉，掌握了函数的零点题型的解题思路及常见方法，才能真正快速准确地解决问题，才能举一反三，只需配置少量的练习，就能熟练掌握，从而达到事半功倍的效果。

从以上近三年高考函数的零点题型的分析可以看出，高考对函数的零点问题的考查可分为三个层次：第一层次利用函数的零点的概念及定理求函数零点的个数及零点所在的范围，这是基础，也是高考主要考查的内容；第二层次是给予一些函数零点的条件，确定其中未知的参数，这是基础内容的提高，考查学生灵活运用知识的能力；第三层次是综合考查，将函数的零点问题同其他知识有机地结合在一起设计综合试题。但不论高考如何命题，只要在函数的零点问题的教学中夯实基础，立足课本，掌握函数的零点题型的解题思路及常见方法，注意函数的零点问题与函数、方程、图像等其他知识的交叉融合，在教学中让学生自己参与掌握知识的来龙去脉，就能更好地培养学生综合分析问题的能力及逻辑思维能力。

作者简介：李春机（1976年出生），男，厦门人，厦门一中集美分校数学教师，中教一级，数学教育本科学历。

参考文献：

谢琼珠，詹欣豪.高考“函数的零点”题型的分类剖析[J].福建中学数学，2012（9）：4-6.

（作者单位 福建省厦门一中集美分校）