让数学思维在拓展变式中溢彩

拓展延伸是为了让教学更开放，让学生触类旁通，发掘每个人的最大潜力.教师要通过课前拓展、课上拓展、课外拓展，培养学生的数学思维，提高学生的数学素养.

一、课前拓展，拓宽视野，储备知识，为提高素养、生成思维奠基

课前拓展就是让学生广泛涉猎相关数学信息（资料），并且搜集整理信息.在有了一定的知识储备后，让学生带着浓厚的兴趣、带着百思不得其解的问题走进数学课堂，从而使学生深度理解课堂上所学的知识.

例如，在v“二面角”时，教师可以课前设置以下问题：问题1：怎样用平面内的角来度量空间的二面角呢？念头1：通过分析打开的数学课本，实验得知在二面角的棱上任取一点，过该点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角（平面角）可度量二面角（空间角）的大小.念头2：在二面角内任取一点，如果过该点分别作两个半平面的垂线，两相交的垂线可以确定一个平面，该平面与二面角的两个半平面都相交，则两条交线构成的角就是我们所找的（平面）角.念头3：根据立体几何中的三垂线定理或逆定理，可在二面角的其中一个面内取一点，过这点作另一个面的垂线得垂足，过该垂足作棱的垂线得交点，连接该点与交点，即可得到所要的（平面）角.问题2：上述三种念头得到的角之间有什么异同，哪一个是我们要找的角？问题3：根据上面的分析与探索，试着给二面角的平面角下定义，并指出为什么要这样定义，在作二面角的平面角时，关键是什么？这里，学生带着对二面角的平面角的好奇心与求知欲，投入到对二面角知识的学习探究中.在高中数学教学中，教师要作好课前拓展准备，帮助学生深度理解所学数学知识、思想与方法，从而达到高效学习数学的目标.

二、课上拓展，多维发散，学会探研，为提高素养、生成思维助力

数学课堂是学生拓展思维、生成智慧的主阵地.在数学教学中，教师要善于利用这个主阵地，多角度、多方向上为学生的数学思维拓展作好铺垫.

例如，在讲“函数的值域”时，二次函数不同区间的值域是重点，也是难点.为了让学生掌握二次函数的值域，教师可以设计如下拓展变式：问题：求二次函数f （x）=x2-4x-3在R上的值域.变式1：若函数f（x）的定义域是[1，2]，求函数f（x）的值域.变式2：若函数f（x）的定义域是[2， 4]，求函数f（x）的值域.变式3：如果函数f（x）的定义域是[1， 4]，求函数f（x）的值域. 以上问题及其变式的设计，有各自的目的性，问题其实是求二次函数的最值.由于二次函数的图象是抛物线，通过图象求值域相对好解决；变式1与变式2的定义域其实分别在二次函数图象对称轴的左侧和右侧，即一个是单调减区间，另一个是单调增区间，这样单调区间上的函数值域对于一般学生是比较好解决的；对于变式3，函数图象的对称轴正好落在定义域内，求函数值域就要好好思考.这样几个形同质差的问题涵盖了二次函数不同区间的值域类型，从一般到特殊，从简单到复杂，层层递进，让学生尝试解决，能提高学生分析问题与解决问题的能力.

三、课外拓展，综合实践，迁移能力，为提高素养、生成思维扩容

在数学教学中，教师要加强数学与其他学科的联系性拓展，提高学生的实践能力；培养类比思维，适当地从深度或广度延伸，提高学生的迁移能力.

例如，教师可以对一道等比数列和等差数列题进行类比变式拓展设计.原题：已知数列{an}为等差数列，且am=x，ak=y（m≠k），则am+k=（yk-xmk-m）；如果数列{bn}为等比数列，且bm=x，bk=y（m≠k），（1）观察、类比等差数列的结果，请猜想bm+k可能是什么结果.（2）证明你的猜想是否正确.拓展1：已知等差数列有如下性质：若数列{an}为等差数列，则当bn=（a1+a2+…+ann）时，数列{bn}也是等差数列；类比上述等差的性质，相应地，若数列{cn}是正项等比数列，当dn=CD#5时，数列{dn}也是等比数列.拓展2：已知数列{an}是等差数列{an}，公差为d，则该等差数列的前n项和为Sn=na1+（n（n-1）2）d，请用类比的方法，写出公比为q的等比数列{an}的前n项积的表达式Tn=CD#5.这样，不仅能帮助学生学好基础知识，而且能培养学生分析问题、解决问题的能力.

总之，数学拓展不能片面追求数学问题的难度，而是要讲究拓展策略方法的.教师要研究学生的心理接受程度，通过一系列问题的呈现，扩大学生的认知空间，促进其思维向纵深发展，提高其数学素养.