整式乘除中的数学思想

数学思想是数学的灵魂和精髓，是解决数学问题的金钥匙。在学习数学知识的过程中，同学们要有意识地挖掘提炼其中的数学思想，并运用这些数学思想指导我们解决数学问题。经常这样做，可以提高同学们分析问题和解决问题的能力，提高数学素养。下面以整式乘除为例说明。

一、整体思想

在推导多项式乘法法则（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn时，我们先把其中的一个多项式（m+n）看成一个整体，即看成一个单项式，这样就将两个多项式相乘问题转化为我们熟悉的单项式与多项式相乘问题，这体现了数学中的整体思想。

例1 （2012年天津市中考题）若实数x、y、z满足（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0。则下列式子一定成立的是（ ）

A．x+y+z=0 B．x+y-2z=0 C．y+z-2x=0 D．x+z-2y=0

分析 注意到（x-y）+（y-z）=x-z，于是可将（x-y）、（y-z）分别看成一个整体。

解 因为（x-y）+（y-z）=x-z，所以[（x-y）+（y-z）]2-4（x-y）（y-z）=0。

即（x-y）2+2（x-y）（y-z）+（y-z）2-4（x-y）（y-z）=0。

即（x-y）2-2（x-y）（y-z）+（y-z）2=0。

即[（x-y）-（y-z）]2=0。所以（x-y）-（y-z）=0。整理得x+z-2y=0。故答案选D。

点评 本题若按常规方法，需要先将已知等式左边的括号展开，然后再整理、分组，进行因式分解，即（x-z）2-4（x-y）（y-z）=（x2-2xz+z2）-4（xy-xz-y2+yz）=（x2+2xz+z2）-4（xy+yz）+4y2=（x+z）2-4y（x+z）+4y2=（x+z-2y）2。显然这样比较麻烦，且分组有一定的困难。当然本题也可应用完全平方公式的变形公式4ab=（a+b）2-（a-b）2，这样便有4（x-y）（y-z）=[（x-y）+（y-z）]2-[（x-y）-（y-z）]2=（x-z）2-（x+z-2y）2。于是（x-z）2-4（x-y）（y-z）=（x+z-2y）2。

二、逆用思想

添括号的结果是否正确可以通过去括号的法则进行检验，将整式乘法的平方差公式和完全平方公式反过来书写，就可以得到因式分解的平方差公式和完全平方公式。因式分解的结果是否正确可以通过整式乘法进行检验，这体现了一种逆用思想。

例2 （2012年浙江省丽水市中考题）已知A=2x+y，B=2x-y，计算A2-B2。

解 将A=2x+y，B=2x-y代入A2-B2，得A2-B2=（2x+y）2-（2x-y）2。

逆用平方差公式，得A2-B2=[（2x+y）-（2x-y）][（2x+y）+（2x-y）]=2y·4x=8xy。

点评 本题若按常规方法，可先利用完全平方公式将（2x+y）2和（2x-y）2分别展开，然后再合并同类项。当然本题也可应用完全平方公式的变形公式（a+b）2-（a-b）2=4ab，从而（2x+y）2-（2x-y）2=4·2x·y=8xy。

三、对应思想

在数学上存在着很多一一对应的例子。如平面直角坐标系中的点与有序数对之间是一一对应的，坐标平面内的每一点都有唯一的一个有序数对对应，每一个有序数对也都对应着坐标平面内唯一的一个点，在整式的除法中也渗透了一一对应思想。

例3 （2012年江苏省泰州市中考题）若代数式x2+3x+2可以表示为

（x-1）2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是＿＿＿＿＿＿＿＿。

分析 先将（x-1）2+a（x-1）+b化简、整理，然后根据对应项的系数相等求出a、b的值。

解 （x-1）2+a（x-1）+b=x2-2x+1+ax-a+b=x2+（a-2）x+1-a+b。

由题意知x2+（a-2）x+1-a+b=x2+3x+2。

比较等式的左、右两边，根据对应项的系数相等，得a-2=3，1-a+b=2。

解得a=5，b=6。所以a+b=11。

点评 由x2+（a-2）x+1-a+b=x2+3x+2也可分别对x取两个具体的数值，然后构造关于a、b的方程组求a、b的值。如取x=0，得1-a+b=2。取x=1，得b=6。这样也可以求出a、b的值。

四、转化思想

在推导同底数的幂相乘、幂的乘方和积的乘方法则时，我们都是根据乘方的意义，将其转化为若干个底数相同的因数的积，在推导完全平方公式时，我们利用乘方的意义，将两数和（或差）的平方转化为多项式与多项式相乘，体现了“化难为易、化繁为简、化未知为已知、化生疏为熟悉”的思想，也就是数学中的转化思想。

例4 （2012年北京市中考题）已知a2+2ab+b2=0，求代数式a（a+4b）-（a+2b）（a-2b）的值。

分析 由已知可得a+b=0。于是可将待求的代数式化成含有a+b的式子。

解 由a2+2ab+b2=0，得（a+b）2=0，所以a+b=0。

所以a（a+4b）-（a+2b）（a-2b）=a2+4ab-a2+4b2=4ab+4b2=4b（a+b）=0。

点评 在得出a+b=0后，也可用-a直接表示b（或用-b直接表示a），这样便有a（a+4b）-（a+2b）（a-2b）=a[a+4（-a）]-[a+2（-a）][a-2（-a）]=a·（-3a）-（-a）·3a=-3a2+3a2=0。

五、数形结合思想

单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、平方差公式和完全平方公式法则都可以通过图形间的面积关系得出，体现了一种数形结合的思想。

例5 （2011年山东省枣庄市中考题）如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）

A.m+3 B.m+6 C．2m+3 D．2m+6

分析 结合题意并根据图形面积间的关系求解。

解 根据题意列式，得[（m+3）2-m2]÷3=2m+3。故答案选C。