《整式的加减》教学初探

新课程与原有的课程相比，教学观念、教学目标、教学内容、教学方式、教学评价都在更新，新课程强调学生各方面能力的培养，强调学生学习品质的培养，强调学生的自主学习.对数学学科教学来讲，则是强调数学思维的培养，提高数学思维品质，提高应用数学的能力，通过学生的自主学习，合作学习，探究性学习，突出学生学习的主体性，全面提高学生的素质.

整式的加减运算是由数的运算拓广到代数式的运算，整式的加减的实质是合并同类项，而合并同类项的实质是有理数（系数）的加减.为了顺利实现整式的加减，还可能需要去括号，所以整式的加减的步骤为：去括号，合并同类项.要正确进行整式的加减，首先必须能正确地去括号，准确判断式子中的同类项.以下我设计了四大类的例题，力图通过这些例题的讲解，使学生逐步熟练掌握整式的加减，提高学生的化归转化能力，体会从特殊到一般的思维过程，体会数学的简洁美.

一、复习引导类题型

此类例题通过对整式加减的相关知识进行强化练习，为顺利进行整式的加减做好充分的准备.

例1：（1）k取何值时，3xy与-xy是同类项？

（2）k取何值时，-3xy与4xy是同类项？

（3）请写出6abc的一个同类项.

解：（1）当k+1=2即k=1时，3xy与-xy是同类项.

（2）当3k=6即k=2时，-3xy与4xy是同类项.

（3）如：-abc、12abc.

此例题旨在通过复习同类项的概念，使学生熟练掌握同类项的特征，能在一个多项式中准确判断出哪些项是同类项.

二、合并同类项及整式的加减

此类例题旨在使学生掌握合并同类项及整式的加减运算，主要是选一些基本题型进行训练.

例2：合并下列多项式中的同类项：

（1）-xy-xy-xy+xy-xy

（2）2a-8ab-ab+5ab+3a+6ab+5b+8ab

解：（1）-xy-xy-xy+xy-xy

=（-xy+xy）+（-xy-xy）-xy

=（-+）xy+（--）xy-xy

=xy+（-1）xy-xy

=xy-xy-xy

（2）原式=2a+3a+5ab-8ab+8ab-ab+6ab+5b

=（2+3）a+5ab+（-8+8）ab+（-1+6）ab+5b

=5a+5ab+5ab+5b

注意：（1）合并同类项时，一定注意不要漏项.（2）多项式合并同类项后所得结果一般按某个字母升（降）幂排列；当结论中含有多个字母时，字母的次序最好按照它在英文字母表中的排列顺序写.

例3：合并下列多项式中的同类项：

（1）（3x-2x+5）+（3x-2x-5）

（2）5a-2b-（3b-4a-1）

分析：首先去括号，然后将同类项进行分组归类，再合并.

解：（1）（3x-2x+5）+（3x-2x-5）

=3x-2x+5+3x-2x-5

=（-2x+3x）+（3x-2x）+（5-5）

=x+x

（2）5a-2b-（3b-4a-1）

=5a-2b-3b+4a+1=（5a+4a）+（-2b-3b）+1=9a-5b+1

例4：化简：

（1）（5a-3b）-3（a-2b）

（2）（x-y）-4（2x-3y）

解：（1）（5a-3b）-3（a-2b）

=5a-3b-（3a-6b）

=5a-3b-3a+6b

=2a+3b

（2）（x-y）-4（2x-3y）

=x-y-8x+12y

=-7x+11y

注意：要特别注意括号前有数字因数的情形.先用乘法分配律把数字与括号内的各项相乘，然后去括号，熟练后，也可省略第二步，直接去括号，如（2）题的处理.

例5：合并下列各式的同类项：

（1）2（a-b）+（b-a）-2（b-a）+（a-b）

（2）2（x-2y）-7（x-2y）+3（2y-x）+（2y-x）

分析：把a-b，x-2y分别看做一个字母，因为a-b=-（b-a），所以（a-b）=（b-a），（a-b）=-（b-a），类似地有：（x-2y）=（2y-x），（x-2y）=（2y-x）

解：（1）2（a-b）+（b-a）-2（b-a）+（a-b）

=2（a-b）+（b-a）-2（a-b）-（b-a）

=0·（a-b）+0·（b-a）

=0

（2）2（x-2y）-7（x-2y）+3（2y-x）+（2y-x）

=2（x-2y）-7（x-2y）+3（x-2y）-（x-2y）

=（2+3）（x-2y）+（-7-1）（x-2y）

=5（x-2y）-8（x-2y）

注意：5（x-2y）与-8（x-2y）不是同类项不能合并.

例6：（1）求多项式x-2x+x-4与2x-5x+6的和.

（2）求多项式3x-5xy+6x与-7y-4xy+4x的差.

解：（1）（x-2x+x-4）+（2x-5x+6）

=x-2x+x-4+2x-5x+6

=3x-2x-4x+2

（2）（3x-5xy+6x）-（-7y-4xy+4x）

=3x-5xy+6y+7y+4xy-4x

=-x-x+13y

注意：本题是求两个多项式的和与差，列式时都要添上括号，把每个多项式分别括起来，再用加减号连接；运算时，按去括号法则，先去掉括号，再合并同类项.

三、化简求值

通过化简求值类题型的训练，进一步熟练掌握整式的加减.

例7：求下列多项式的值：

（1）2a-5a+a+4a-3a-2，其中a=-.

（2）x+3xy-6xy-3xy+4xy+6xy-7xy-2x+y，其中x=-2，y=1.

分析：由于上述两个多项式中都有同类项，因此应先合并同类项，化简多项式，然后把未知数的值代入化简后的多项式中，求出原多项式的值.

解：（1）原式=（2+1-3）a+（-5+4）a-2=-a-2

当a=-时，原式=-（-）-1=-.

（2）原式=x-2x-6xy-7xy+6xy-3xy+3xy+4xy+y

=-x-13xy+6xy-3xy+7xy+y

当x=-2，y=1时

原式=-（-2）-13×（-2）×1+6×（-2）×1-3×（-2）×1

+7×（-2）×1+1

=-16-52+24+6-14+1=-51

注意：如果直接把未知数的值代入多项式，进行有理数的混合运算，既麻烦，又容易出错，所以对此类题处理的一般方法是先化简，再求值，这样往往能简化运算过程.

四、整式的加减的变式题及提高

通过整式的加减的变式题的训练，进一步加深学生对整式的加减的理解，锻炼学生的运算能力和变形技巧，提高学生解决问题的能力.

例8：（1）已知代数式x+x+3的值为7，求代数式2x+2x-3的值.

（2）已知m-n=3，mn=-3，求多项式（-m-4n-mn）-（2mn-2m-3n）-（3mn+2n-2m）的值.

分析：第1小题中，由已知难以求出x的值，但能求得x+x=4的值.再观察分析发现2x+2x-3可看成2（x+x）-3，从而可整体代入进行求解.第2小题由已知条件同样难以求出m，n的值，但可对所要求解的多项式进行适当的变形，然后用整体代入的方法求解.

解：（1）因为x+x+3=7，所以x+x=4

所以2x+2x-3=2（x+x）-3=2×4-3=5

（2）（-m-4n-mn）-（2mn-2m-3n）-（3mn+2n-2m）

=-m-4n-mn-2mn+2m+3n-3mn-2n+2m

=3m-3n-6mn

=3（m-n）-6mn

因为m-n=3，mn=-3，

所以，原式=3×3-6×（-3）=9+18=27.

整式的加减是七年级的重要内容，希望通过上述例题的教学，能使学生熟练掌握整式的加减，为后续知识的学习打下坚实的基础.