整式的乘除典型例题赏析

一、幂的运算法则

例1 计算：[（-y3）4]2 ÷ [（y2）4 ・ y5 ・ （-y）2].

解析 本题涉及的幂的运算法则有：同底数幂相乘除，幂的乘方. 在利用法则时要注意指数的处理. 在运算过程中注意运算顺序：先乘方，后乘除，有括号的先算括号里面的.

解 原式 = [（-1）4 × y3 × 4]2 ÷ [y2 × 4 ・y5 × （-1）2 × y2] = y12 × 2 ÷ （y8 + 5 + 2） = y24 ÷ y15 = y24 - 15 = y9.

二、逆用幂的运算性质

例2 已知xa = 2，xb = 3，求x3a + 2b的值.

解析 本题逆用同底数幂的乘法法则和逆用幂的乘方法则. 先将x3a + 2b化成含有xa，xb的式子再计算. x3a + 2b = x3a ・ x2b = （xa）3 ・ （xb）2 = 23 × 32 = 8 × 9 = 72.

例3 若a = 78，b = 87，则5656 = （用a，b的代数式表式）.

解析 这里的幂78，87，5656三者之间有一定的联系，需把“未知”向“已知”转化，再代入.

解 5656 = （7 × 8）56 = 756 × 856 = （78）7 × （87）8 = a7b8.

三、整式的运算

例4 先化简，再求值.

10x ・ （5x - y） - 2x ・ （y + 25x） - 3xy，其中x = 2，y = ■.

解析 利用整式的乘法进行运算，合并同类项，再代入求值.

解析 这是一道整式混合运算题，按运算顺序，运用去括号法则与整式运算的法则计算.

四、乘法公式的应用

例6 计 算.

（1） （a + 2b - 3c）（a - 2b + 3c）；

（2） （a + 2b - 3）2.

解析 （1） 运用平方差公式，当两个因式都为三项式时，将相同的项作为“一项”，互为相反的项作为“另一项”；（2） 一个三项式的平方，不能直接用完全平方公式，可以用加法结合律将a + 2b - 3化成a + （2b - 3），看成a与（2b - 3）和的平方，再应用公式.

解 （1）原式 = [a + （2b - 3c）][a - （2b - 3c）] = a2 - （2b - 3c）2 = a2 - 4b2 + 12bc - 9c2；

（2）原式 = [a + （2b - 3）]2 = a2 + 2a（2b - 3） + （2b - 3）2 = a2 + 4ab - 6a + 4b2 - 12b + 9.

两个以上整式的和的平方，等于多个项的平方和加上每项乘积的倍数.

例7 已知x + y = 5，x - y = 3，求x2 + y2和xy的值.

解析 按完全平方公式，将两式平方后展成都含有x2 + y2和xy的项. 可以看成是关于x2 + y2和xy的二元一次方程组. 再求x2 + y2和xy的值.

解 （x + y）2 = 25，得x2 + 2xy + y2 = 25①

（x - y）2 = 9，得x2 - 2xy + y2 = 9 ②

① + ②，得2（x2 + y2） = 34，

x2 + y2 = 17.

① - ②，得4xy = 16，

xy = 4.

五、因式分解

例8 将下列各式分解因式.

（1）25 - 4a2 + 20ab - 25b2；

（2）a3 + a2 - a - 1.

解析 要熟记平方差公式和完全平方公式的结构特点，并且能在较复杂的整式中找到含有这样特点的式子.

解 （1）原式 = 52 - [（2a）2 - 2 ・ 2a ・ 5b + （5b）2] = 52 - （2a - 5b）2 = （5 + 2a - 5b）（5 - 2a + 5b）；

（2）原式 = （a3 + a2） - （a + 1） = a2 （a + 1） - （a + 1） = （a + 1）（a2 - 1） = （a + 1）（a + 1）（a - 1） = （a + 1）2（a - 1）.

例9 把3ax + 4by + 4ay + 3bx分解因式.

解析 此题多项式的四项中没有公因式，不能直接提取公因式，但分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解.

解法一 原式 = （3ax + 4ay） + （3bx + 4by） = a（3x + 4y） + b（3x + 4y） = （3x + 4y）（a + b）.

解法二 原式 = （3ax + 3bx） + （4ay + 4by） = 3x（a + b） + 4y（a + b） = （a + b）（3x + 4y）.