对高中数学新增线性规划部分内容的理解以及教学建议

【摘要】根据教育部颁发的普通高中数学课程标准（实验），新的数学教材中新增加了很多内容，以期更好地培养学生的数学思维和数学应用能力，其中包含了很多高等数学中的基本内容，比如简单的线性规划.本文将论述对于高中数学教材中出现线性规划这部分内容的理解，并试图给出一些教学建议.

【关键词】高中数学；线性规划；教学建议

一、关于线性规划

1线性规划在新教材中的位置

普通高中课程标准实验教科书（北师大版）《数学》必修5第三章《不等式》中的第4小节介绍了简单线性规划的基本内容.这部分内容对于文科和理科的学生要求一样，要求学生掌握解决线性规划问题的基本步骤，学会从实际问题中抽象出简单二元线性规划并加以解决.整个不等式章节的教学约16课时，简单线性规划这节内容需要3~4个课时.在学习简单线性规划问题之前，先学习了不等关系、一元二次不等式以及基本不等式等内容，让学生感觉学习线性规划问题不会那么突兀和难以接受.

2比较新旧教材的区别

对于不等式，以往的课程比较关注不等式的解法，只是告诉学生如何去解不等式，机械地练习，而学生并不能理解不等式的意义以及用途；新的课程中强调不等式是刻画和描述现实世界中事物在量上的区别的一种工具，是描述、刻画优化问题的一种数学模型.增加线性规划这部分内容，让学生了解了不等式的应用及其几何意义，为学生理解不等式的本质、体会优化思想奠定了基础.

二、为什么要增加线性规划这部分内容

1线性规划与函数

解决线性规划问题，可以归结为以下步骤：（1）确定目标函数；（2）确定目标函数的可行域；（3）确定目标函数在可行域内的最值.

线性规划问题是最优化问题的一部分.从函数的角度来看，首先，确定目标函数，用目标函数来刻画题目中的“好”与“坏”，“大”与“小”，实际上目标函数就是二元函数（在中学教材中），学生很容易理解目标函数这个概念；其次，确定目标函数的可行域，就是由约束条件确定目标函数的定义域，学生可以通过画出图形很直观地看出可行域的范围；最后，确定目标函数在可行域内的最值，就是通过目标函数在可行域中移动，确定在约束条件下的定义域所对应的目标函数的值域的最值.可以看出，线性规划这部分内容与函数的联系极为密切，而函数是高中数学中非常重要的内容，因此，在高中教材中引入高等数学中的线性规划问题便不足为怪了.

2线性规划与数形结合

由于线性规划问题可以化归为目标函数求最值问题，而目标函数在某个区域上的最值问题又可以通过直线的平移加以解决，因此正确地画出不等式（组）表示的平面区域，平移直线就是解决此类问题的关键.这就用到了数形结合的基本思想，画出所求目标函数的可行域，直观地解决线性规划的问题.作为高等数学中的内容的线性规划与中等数学中最基本的数形结合思想有着如此密切的联系，将其引入高中课程也就变得理所当然.

3线性规划的应用价值

《数学课程标准》中列举了10项指导数学课程设计的基本理念，其中一项就是发展学生的数学应用意识.对数学的应用意识是衡量学好数学的一个标准，很多时候学生甚至教师将数学知识的学习与应用分开来看，这对于我们学好数学是非常不利的.而线性规划是一个应用性非常强的工具，可以很好地锻炼学生的数学应用意识.平时生活中的很多问题都可以抽象成简单的线性规划问题，例如：《数学课程标准》中的案例3是一个投入产出模型，北师大版教材上的例9是关于为病人配营养餐的问题，这些都是生活中很常见的，让学生感觉到用自己学的数学知识可以解决这么多实际的问题，会激励学生学习数学的兴趣和积极性.在新教材中引入线性规划这部分内容符合《数学课程标准》中提出的发展数学应用意识的课程目标，并能很好地联系实际，将所学知识运用到现实问题中，有利于培养学生发现问题、解决问题、应用所学知识的能力和意识.因此引入这部分内容有其现实意义.

三、有关线性规划这部分内容的几点教学建议

1注重培养学生发现问题、抽象出数学模型的能力，发展其应用意识

教师在教学过程中，不要简单地只讲解解决线性规划问题的基本步骤，只是为了应对考试才反复训练解题能力，应当有意识地鼓励学生善于将所学知识延伸到现实生活中，发现更多需要解决的问题，从而培养学生应用数学的能力和意识.比如，有这样一个题：某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，可以住游客5名，每名游客每天住宿费40元，小房间每间面积15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元，装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？老师可以在讲解了有关基本步骤内容以及课本上的例题后，给出学生这个问题.这是个很实际的问题，可以让学生想象自己需要办这么一家旅社，考虑它的装修问题，这会让学生感到数学就在身边，激发学生探讨数学问题的积极性.此题的解决实际就是按照线性规划的三个基本步骤进行的，确定目标函数、确定目标函数的可行域、确定目标函数的最值，但老师可以借此向学生举一反三，给出若干其他例子，也可以让学生去发现生活中的问题，借以体现数学应用的广泛性.从而训练学生发现问题、抽象现实问题的能力，增强其应用数学的意识和能力.

2扎实基础，学好有关不等式的基本内容，为更好地理解线性规划奠定基础

线性规划的解决是建立在不等式的基础上的，首先要学好不等式的相关知识，理解不等式的意义及其几何意义，才能更好地理解线性规划的含义.新教材的编写也是根据这样的规律，首先介绍不等式的有关内容，然后顺其自然地引入线性规划.老师在讲解这部分内容时，需随时复习前面不等式的有关内容，比如从实际情景抽象出一元二次不等式模型、了解基本不等式且会用基本不等式解决简单的最值问题、了解二元一次不等式的几何意义等基本内容，只有扎实基础，才能更好地学习接下来的内容，更好地理解线性规划.

3渗透数学的优化思想以及应用

优化思想是人们思考问题、解决问题的基本和重要的思想.在日常生活、学习和工作中，为了提高效益，会遇到各种各样的优化问题.人们做事总要有目标，从数学的角度考虑，希望对目标加以量化，量化的目标才有好坏之分.线性规划就是一个很好的优化工具，可以帮助人们解决很多的实际问题.教师在讲解这部分内容时应注意向学生渗透数学的优化思想，引导学生发现数学的简洁美，体会数学的美学精神.

【参考文献】

［1］李三平.高等数学与中学数学［M］.西安：陕西师范大学出版社，2006.

［2］数学课程标准研制组编写.数学课程标准（实验）解读［M］.南京：江苏教育出版社，2004.

［3］王尚志.数学教学研究与案例［M］.北京：高等教育出版社，2007.