高考广东卷三角题评析

2014年高考广东卷三角试题沿袭了我省近五年的命题模式，立足课本、紧扣考纲、注重基础、通性通法.知识层面今年更重视三角变换和解三角形（正、余弦定理的运用），三角函数的图像和性质涉及较少，值得一提的是考生自主发挥的空间较大，理科第16题相比于往年运算量加大，平均分有所降低，对能力较弱的考生是个考验.

一、考题剖析

2014年高考广东卷三角部分试题权重约为20到25分，其中理科第5题、第12题、第16题；文科第5题、第7题、第16题都直接考查三角知识，除此外，理科第18题第（2）小题二面角的余弦间接考查了解直角三角形，可见其重要性还未受到动摇.

【考题1】（文科第5题）下列函数为奇函数的是f（x）=

（ ）

A. 2x- B. x3sinx C. 2cosx+1 D. x+2x

【解析】四个函数的定义域都满足奇偶函数的条件，对于A. f（-x）=2-x-=2-x-2x=-2x-

=-f（x），所以是奇函数；对于B. f（-x）=（-x）3sin（-x）=x3sinx=f（x），所以是偶函数；函数对于C. f（-x）=2cos（-x）+1=2cosx+1=f（x），所以是偶函数；对于D. f（-1）=-， f（1）=3， f（-1）≠- f（1）， f（-1）≠ f（1）， 所以是非奇非偶函数. 故选A.

【评注】本题主要考查函数奇偶性概念的掌握，涉及三角函数和指数函数，考查很基础，属容易题，预计多数考生都能拿下，平均分应该不低.

【考题2】（理科第5题）已知向量=（1，0，-1），则下列向量中与成60°夹角的是（ ）

A. （-1， 1， 0） B. （1， -1， 0） C. （0， -1， 1） D. （-1， 0， 1）

【解析】考查空间向量的夹角与运算以及特殊角的三角函数值，将ABCD四个选项依次代入得cos=cos60°==，故选B.

【优美解法】考虑到四个选项中向量的模均为，故夹角公式中分母×=2，欲使夹角为60°，考虑到cos60°=，cos==，故・=1，将ABCD四个选项依次代入得B.符合，选B.

【评注】本题主要考查考生对空间向量夹角公式以及特殊角的三角函数值的掌握，考查很基础，属基本题，有利于稳定考生的得分，只是选择的解法会影响后续的完成.

【考题3】（理科第12题）在ΔABC中，角A，B，C所对应的边分别为a， b， c，已知bcosC+ccosB=2b，则= .

【解析】用余弦定理求边的公式将条件bcosC+ccosB=2b 化为 b・+c・=2b，化简得==a=2b，故=2，填2.

【优美解法】考查正弦定理，将条件bcosC+ccosB=2b化为 sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB， B+C=π-A， sinA=2sinB，故==2，填2.

【评注】解三角形的问题最常用的方法是化为边、化为角两种题路；化为边可以避开三角式的变换，但有时对分式运算提高要求，化为角主要考查三角变换技巧.本题也不例外，考查三角形的基本问题很基础，属容易题，有利于考生的正常发挥，多数考生能够顺利完成.

【考题4】（文科第16题）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R， 且f

=，

（1）求A的值；（2）若f（θ）-f（-θ）=，θ∈（0， ），求f

-θ.

【解析】（1）依题意有f

=Asin（+）=Asin=A=，所以A=3.

【评注】本题考查函数思想以及特殊角的三角函数值，很基础，估计大部分考生能够得到分.

（2）由（1）知f（x）=3sin（x+），x∈R，

f（θ）-f（-θ）=3sin（

+θ）-sin（

-θ）

=3

cosθ+

sinθ-

cosθ-

sinθ

=3sinθ=，

sinθ=. θ∈（0， ）， cosθ===，

f

-θ=3sin

-θ+

=3sin

-θ=3cosθ=3×= .

【评注】三角函数题是解答题第一道，延续了2008年至今的考查模式，今年注重三角变换的基本技巧、诱导公式、特殊角的三角函数值，相比去年运算能力要求略有提高，但难度相当. 本解法是考生最容易想到的方法，未必是最简洁的方法.

（2）【优美解法1】（用和差化积公式）

由（1）得f（x）=3sin（x+），x∈R，

f（θ）-f（-θ）= 3sin（

+θ）-sin（

-θ）= 6cossinθ = 3sinθ =，

sinθ=.

θ∈（0， ）， cosθ===，

f

-θ=3sin

-θ+

=3sin

-θ=3cosθ=3×= .

【评注】和差化积公式按考纲不要求考生掌握，但用和差化积公式化简更直接，更简单.

【优美解法2】（用换元法）设-θ=t，则θ=-t，

f（θ）-f（-θ）=3sin（

-t）-sint

=3（

cost+

sint）-sint=3（cost-sint）