应用平行线的性质解题方法例析

平行线的性质与平行线的判定不同，平行线的判定是由角的数量关系来确定线的位置关系，而平行线的性质则是由线的位置关系来确定角的数量关系，平行线的性质与判定是因果倒置的两种命题.对平行线的判定而言，两直线平行是结论，而对平行线的性质而言，两直线平行却是条件. 已知两直线平行，由平行线得到角的关系是平行线的性质，包括:①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是学习几何的重点与难点，它是研究平行线及直线平行的继续，是以后研究平移等内容的基础，是“空间与图形”的重要组成部分.平行线性质的应用主要体现在以下三个方面：一是要求学生掌握平行线的三个性质，经过对比后，要求学生能够理解平行线的性质和判定的区别与联系；二是要求学生通过对实际问题的简单探究，训练并提高学生发现问题、分析问题、解决问题和逆向思维等方面的基本能力，要求学生能应用平行线的性质进行简单的推理论证；三是要求学生通过演练综合应用题，不仅能够区别平行线的性质和判定，而且能够灵活运用平行线的性质.下面笔者就针对有关平行线的性质应用问题举例谈谈解题方法，以期共同进步，教学相长.

例1：已知：如图1，直线a∥b. 求证：（1）∠1=∠6；（2）∠1+∠2=180°；（3）∠2+∠4+∠3+∠6=360°.

证明：（1）a∥b（已知） ，

∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） .

又∠3=∠6（对顶角相等） ，

∠1=∠6 .

（2）a∥b（已知） ，

∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） .

又∠5+∠3=180°（邻补角的定义），

∠1+∠5=180° .

（3）a∥b（已知），

∠1=∠3，∠4=∠5（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠5（两直线平行，内错角相等）.

又∠5+∠3=180°，∠5+∠6=180°（邻补角的定义） ，

∠2+∠4+∠3+∠6=（∠5+∠3）＋（∠5+∠6）=180°+180°=360°.

即：∠2+∠4+∠3+∠6=360°.

分析：这里运用了平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等，对顶角相等，以及临补角的定义和等量代换等性质.如果不能牢记这些基本知识，就很难进行推理论证，所以要把这些性质熟记在心，并注意把性质与判定区别开来，而且还要学会使用因果推理论证的方法.“因”就是条件，“果”就是结论.

例2：如图2，如果∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗？为什么？

分析：要使∠A＝∠F，必须DF∥CA，因为如果DF∥CA，就有∠A＝∠F，那么在什么情况下DF∥CA呢？于是就会想到前面学过的平行线的判定定理，看看DF和CA有没有平行的可能.根据已知条件可知，∠2和∠3互为对顶角，∠2=∠3，再由已知条件∠1=∠2可得∠1=∠3，而∠1和∠3是一对同位角，于是由平行线的判定定理可知BD∥CE（同位角相等，两直线平行），下面再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，即可得到∠4=∠C；又因为已知∠C＝∠D，所以我们可以得到∠4=∠D，于是可证明DF∥CA，从而可进一步推出∠A=∠F.

解：结论：∠A＝∠F，道理如下：

∠1=∠2（已知），∠2=∠3 （对顶角相等）.

∠1=∠3.

BD∥CE （同位角相等，两直线平行）.

∠4=∠C（两直线平行，同位角相等）.

又∠C＝∠D，

∠4=∠D，

DF∥CA （内错角相等，两直线平行）.

∠A＝∠F （两直线平行，内错角相等）.

例3：如图3，在ABC中，BEAC于E，DFAC于F，BC∥ED，BE是∠ABC的平分线，那么∠BED＝∠ADF吗？

分析：由于BEAC于E，DFAC于F，所以∠AFD＝∠AEB=90°，根据平行线的判定定理可知：DF∥BE，根据平行线的性质定理可知：∠ADF＝∠ABE，（两直线平行，同位角相等），∠BED＝∠FDE（两直线平行，内错角相等）；再由已知条件BC∥ED，可知∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），∠BED＝∠EBC（两直线平行，内错角相等）；BE是∠ABC的平分线，∠ABE＝∠EBC（平分线的性质），所以可推出∠CBE＝∠FDE，∠ADF＝∠FDE，于是可知∠BED＝∠FDE＝∠ADF，即：∠BED＝∠ADF.

解：结论：∠BED＝∠ADF，道理如下：

BEAC于E，DFAC于F ，

∠AFD＝∠AEB＝90°（垂直的定义）.

DF∥BE （同位角相等，两直线平行）.

∠ADF＝∠ABE（两直线平行，同位角相等），

∠BED＝∠FDE （两直线平行，内错角相等）.

又BC∥ED（已知），

∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等） ，

∠BED＝∠EBC（两直线平行，内错角相等）.

BE是∠ABC的平分线，

∠ABE＝∠EBC（平分线的性质），

∠BED＝∠CBE＝∠FDE，∠FDE＝∠ADF＝∠ADF（等量代换），

∠BED＝∠ADF.

例4：如图4，已知AB∥CD∥EF，∠AEC＝80°，∠EAF＝

求∠AFC的度数.

平行线的有关性质，比如：“两直线平行，内错角相等.”于是可想到利用已知度数的∠AEC，作辅助线，延长FE（所作的辅助线应使用虚线），如图4，这样就把∠AEC变成了两个角的和，于是有：∠AEC＝∠AEM＋∠MEC，∠解：作辅助线，延长FE，

AB∥CD∥EF，

∠BAE＝∠AEM，∠DCE＝∠CEM，

∠EFA＝∠FAB，∠EFC＝∠FCD，

∠AEC＝∠AEM＋∠MEC，∠AFC＝∠FAB＋∠FCD.

∠AEC＝80°，

根据上述综合应用平行线性质解答有关问题的方法可知：教师在解答这类问题时，一定要让学生牢牢掌握平行线的性质，知道平行线性质的来由，牢牢把握平行线的判定与性质的区别，而且能在推理过程中正确地应用它们，并注意文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化.还要懂得几何中的计算往往要说理，这就要求让学生不仅要熟悉解答几何计算题的格式和要求，还要懂得由“已知”条件推得一系列新结论的推理方法.对于简单的题目，能做到想得明白，写得清楚，书写规范，对于较难的题目，要与图形结合，从图形中找出解决问题的入手点，进行探究思考、推理证明.另外，在解题过程中，教师一定要让学生搞清楚每一步推理的依据，严格按照解题的格式和要求去做.

【附典型训练题】

1.如图5，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1=∠2，∠B＝∠C.求证：∠A＝∠D.

2.如图6，若直线AB∥ED，请你探求∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由.

3. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角之间有怎样的数量关系？请说明你的理由.

4.如图7，已知∠ABC=40°，ACB=60°，BO、CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

5.如图8，AB∥CD，EF分别交AB，CD于M、N，∠EMB＝50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G.求∠1的度数.

6. 如图9，已知AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，那么AE与CE有什么关系呢？请你在得出结论后，用一句话把题设与结论完整地总结出来，作为有用的命题.

【答案与提示】

1.证明：∠1=∠2，∠2=∠BMA（对顶角相等），

∠1=∠BMA ，

CE∥BF，

∠B＋∠BEC=180°.

又∠B＝∠C

∠C＋∠BEC＝180°，

AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），

∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）.

2.解：结论是∠C＋∠D-∠B＝180°.理由如下：

如图10，过点C作CF∥AB，则∠B＝∠2.

AB∥ED，CF∥AB，

ED∥CF（平行于同一条直线的两直线平行），

∠1+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

而∠1=∠BCD-∠2=∠BCD-∠B，

∠BCD-∠B＋∠D=180°，即∠BCD＋∠D-∠B=180°.

[注：平行线CF是联系AB、DE的桥梁，本题还有其他做法.]

3.解：结论是这两个角相等或互补.理由如下：

如图11，∠1的两边与∠2、∠3的两边分别平行.

AB∥CD，AF∥CE，

∠1=∠4，∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），

∠1=∠2 ，

又∠2+∠3=180°，

∠1+∠3=180°.

从而∠1=∠2，∠1+∠3=180°.

[注：解答本题应分情况讨论，全面考虑.]

5.提示：要求∠1的度数，根据两直线平行可得∠1=

∠BMG，所以只要根据已知条件求得∠BMG的度数即可.解：因为AB∥CD，所以∠1=∠BMG（两直线平行，内错角相等），又因为∠EMB＝50°， MG平分∠BMF，所以∠BMG＝

6.结论：如果两条平行线被第三条直线所截，那么两个同旁内角的平分线就互相垂直.解题提示：过E作EM∥AB交AC于M，利用平行线的性质：（1）两直线平行，内错角相等；（2）两直线平行，同旁内角互补，接下去根据已知条件：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，即可推出结论.省略

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文