模块主成分分析在人脸重建中的应用

摘 要： 模块主成分分析是人脸重建中一种重要的子空间学习方法，鲁棒性不足是传统的基于L2范数的模块主成分分析（BPCA-L2）的主要问题。为此，提出了一种新的基于L1范数的模块主成分分析（BPCA-L1）方法。该方法使用了对奇异值不太敏感的L1范数。基于L1范数的模块主成分分析方法简单并易于实现，在一些人脸数据集上的重建实验验证了其有效性。

关键词： 模块主成分分析； L1范数； 主成分分析； 鲁棒性

中图分类号：TP393 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2015）02-24-02

Application of block principal component analysis in face reconstruction

Wang Ya'nan， Lou Hanxiao， Chen Daben， Xu Shuhua

（School of Maths and Physics， Shaoxin College， Shaoxing 312000）

Abstract： The block principal component analysis is an important subspace learning method in face reconstruction. Lacking robustness is a main problem of the traditional L2-norm （L2-BPCA）. In this paper， a method of block principal component analysis （BPCA） based on a new L1-norm is introduced. L1-norm is used， which is less sensitive to abnormal values. The proposed block principal component analysis based on L1-norm is simple and easy to be implemented. Experimental reconstruction on several face databases are conductive to verifying the validity of L1-BPCA.

Key words： BPCA； L1-norm； principal component analysis； robustness

0 引言

主成分分析（PCA）[1]是多元数据分析中广泛使用的降维方法，其主要目的是寻求具有最大方差的一组正交基。杨等人[2]首先提出了二维主成分分析（2DPCA），是二维（2D）图像分析中的一种有效的降维方法。它不同于PCA，2DPCA直接基于原始二维图像的向量基础进行分析，避免了从矩阵到向量变化过程中的矢量化。2DPCA根据计算图像的协方差矩阵的特征向量，得到个数比图像矩阵的行数少的投影方向。近年来，2DPCA在图像表示和识别的应用引起了越来越多人的兴趣。

然而，2DPCA仅提取像素排列中的行向量的图像信息，而与特征提取具有同等地位的列向量空间排列是完全被忽略的。一般来说，模块PCA（BPCA）[3]是将每个图像分成若干个块，然后在这些模块中使用PCA进行处理。如果模块作为行向量，那BPCA就是2DPCA，那么BPCA在这个意义上泛化为2DPCA。

上述所有方法中，由于使用了L2范数[4]，导致其对异常值十分敏感。为了解决鲁棒建模问题， Ding等人[5]提出了基于L1范数PCA，该方法使用了简单有效的迭代算法求解基向量。李等人[6]将2DPCA的适用范围扩展到L1范数并应用于图像重建，称之为2DPCA-L1。此外，彭等人[7]考虑了基于L1范数的张量分析。

2DPCA-L1和PCA-L1之间的关系正像2DPCA和PCA之间的关系一样，2DPCA-L1是PCA-L1的一个特例。当PCA-L1应用到图像矩阵的行向量中，PCA-L1就变成了2DPCA-L1。受此启发，把PCA-L1应用于图像小块中的这种方法可以称为BPCA-L1。BPCA-L1具有三个特征。①它是2DPCA-L1的一般表示。由于它有效地结合了行和列的图像信息，更多的空间信息被保存。不像2DPCA-L1那样只在行向量上起作用，BPCA-L1是应用在图像的小块中。其投影过程实际上是一个在原始图像上进行本地过滤操作。因此，需要寻求一个行和列的信息之间的权衡。②由于使用了L1范数，BPCA-L1是鲁棒的。③不需要构建协方差矩阵和分解密集的特征，BPCA-L1使用一个简单的迭代算法并且收敛很快。在本文中，BPCA不是使用基于L2-范数最大化方差，而是使用了一种更简单快捷的L1-范数。实验表明，BPCA-L1算法具有更好的图像重构性能。

1 基于L1-范数的模块PCA

1.1 理论分析

将每张图像Xi（i=1，…，n）分成m个小模块形成集合{，…，}。这些模块必须包含h个像素点。用{，…，}表示这些模块图像的向量，也就是说，依字母顺序排列每一个小模块中的像素点。我们的目标是找到一个h维单位长度向量ψ*使L1范数离差达到最大，ψ*由下式给出：

⑴

通过迭代算法求解ψ*。首先，构建一个极性函数：

⑵

更新第（t+1）次迭代的投影向量ψ（t+1）为：

⑶

在图像重建中，图像块{，…，}不能重叠，并且要求覆盖整个图像。但通常情况下，图像块不一定有相同的矩形形状或覆盖整个图像。例如，模块可能是部分重叠的圆圈。

为了提取第（l+1）个基向量， 其中l?1，根据如下公式更新训练数据：

⑷

其中并且有ψ1=ψ*。

1.2 算法步骤

⑴ 初始化：图像Xi（i=1，…，n）分成m块，记为{，…，}。

⑵ 极性检验：对于所有的i∈（1，2，…，n），j∈（1，2，…，m），如果，pi（t）=1，否则pi（t）=-1。

⑶ 迭代和最大化：令tt+1，。

⑷ 收敛性检验：

（a） 如果ψ（t）≠ψ（t-1），则执行第二步；

（b） 否则如果存在i和j使得，令，继续执行第二步，其中Δψ是一个小的非零随机向量；

（c） 否则，令ψ*=ψ（t），最后算法结束。

2 实验

2.1 实验数据

本文采用ORL人脸图像集，由40人组成，每个人包括10张不同的图像，共有400张图像样本。原始图像的大小为112×92像素，灰度值为256。在我们的实验中，图像采样为64×64像素。

本实验的目的是评估当训练数据被噪声污染时的线性子空间方法的重建能力。随机选择80张图像样本，对每个选定的图像在随机的位置上添加矩形噪声污染，如图1所示。噪声值为0或255，矩形的大小至少为15×15。

2.2 实验结果与分析

对于每个数据集，我们进行了20次实验并计算平均重构误差。实验前，对每个输入变量进行标准化，它们具有零均值和单位方差。

不同特征数量下使用BPCA-L1和BPCA-L2子空间方法进行图像重构时的平均重构误差如图2所示。图像块的大小设置为8×8。可以看出，特征数超过一定的阈值时，基于L1范数的方法优于相应的基于L2范数的方法。当特征数较少时，基于L2范数的方法和基于L1范数的方法效果相当（不相上下）。奇异图像对L2范数的影响比L1范数更大，这表明引入L1范数到BPCA具有明显的优势。

图3显示了一个原始的图像和BPCA-L1、BPCA-L2方法下不同投影向量重构的图像。在图3中可以看到，尽管基于L1的方法重建图像和对应的基于L2的方法的视觉效果差不多，但是两者平均重建误差有所不同。

图3中，第一行使用BPCA-L2，第二行使用BPCA-L1。第一列是原始图像，第二、三和四列是重构的图像，它们投影向量分别是5、10和30。

3 结束语

本文使用BPCA-L1方法对部分人脸受到遮盖的图像进行重构，由于该方法使用了块或整体-局部表示法，通过结合行信息和列信息有效地利用了图像空间结构，并且L1范数的实现采用一种简单的迭代算法，有较好的收敛性，该方法的平均重构误差低于BPCA-L2方法，BPCA-L1方法对异常值有鲁棒性。

参考文献：

[1] I.T Jolliffe. Principal Component Analysis[M]. Springe-Ver1ag，

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[2] Yang， J.， Zhang， D.， Frangi， A.F.， Yang， J.-Y. Two-dimensional

PCA： A new approach to appearance-based face representation and recognition[J]. IEEE Trans， Pattern Anal， Machine Intell，2004.26（1）：1-7

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[4] 王东霞，刘秋菊，刘书伦.一种l2，1范数最小化问题的算法研究[J].福

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[5] Ding， C.， Zhou， D.， He， X.， Zha， H.. R1-PCA： Rotational

invariant L1-norm principal component analysis for robust subspace factorization. In： Proc.Internat. Conf. Mach. Learn.，2006：281-288

[6] Li， X.， Pang， Y.， Yuan， Y.. L1-norm-based 2DPCA[J]. IEEE

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[7] Pang， Y.， Li， X.， Yuan， Y.. Robust tensor analysis with L1-norm[J].

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