例谈排列组合问题的常用解法

在高中数学教学中，排列组合是比较重要的部分，但是排列组合这部分的习题不容易找到规律，如果学生不够仔细，很容易出现遗漏的现象，这部分内容的学习对学生来说一直是一个难点.所以教师应该在教学的过程中总结一些比较适用的解题方法，教会学生遇到不同类型的排列组合题目应该怎样思考，帮助学生学好排列组合方面的内容.

一、 解排列组合问题应注意的问题

在进行排列组合这部分问题的求解过程中，教师应该提醒学生注意一些在解题中经常容易出现的问题.

首先，要让学生先弄明白是要分类计算还是要分步计算.如果采用分类计算方式，那么所有类别之间必须是相互独立没有任何交集的，否则不能采用分类计数法进行解题.而对于分步计数的解题方法来说，每个步骤之间应该是互不干扰的，并且要求学生必须严格遵守解题的步骤，一步一步认真地进行计算，这样才能避免解题中的错误.

其次，在解决排列组合问题时，大多是先组合后排列，先对题目中的对象进行分类组合，然后再分步进行排列的计算，这样一步一步地进行，层次鲜明，不容易遗漏.

最后，教师应该让学生明确排列组合的概念和含义，让学生明确排列组合的公式是进行解题的基础，只有掌握好基础的问题，才能在解题的时候做到快速准确.

二、排列组合问题的常用解法

1. 捆绑法.

捆绑法就是将一些元素当成一个整体，然后进行排列组合，这是数学中整体思想的一个良好体现.

例如：现有A、B、C、D、E五名同学，让这五名同学排成一排，如果规定A与B必须相邻，且B在A的右边，那么请问有多少种不同的排法.

解析：本题中对A与B两个同学的位置有要求，那么我们先将这两个同学看成一个整体，然后与其他三名同学进行排列，这样就很容易得出相应的结果.这就是捆绑法在习题中的运用，可以帮助学生快速准确地进行解题.

2.特殊元素优先法.

在排列组合问题中，总会出现一些十分特殊的元素，对于这一类排列组合问题，我们应该先解决特殊的部分，当特殊的元素确定之后，再进行一般部分的求解.

例如：现在1、2、3、4、5、6这六个数字中任取四个数字组成没有重复数字的四位数，求满足下列条件的四位数各有多少个.（1）数字1不排在个位和千位；（2）数字1不在个位，数字6不在千位.

解析：首先我们先看第一小问，这一问比较简单，由于数字1不能在个位和千位，所以个位和千位分别有五种选法，然后运用乘法原理可知答案为240.而第二问就要用到特殊元素优先法，先将千位和个位确定好，然后再确定十位和百位，最后结果为252.

3.插空法.

插空法在排列组合中的应用，大多是用于解决某几个元素不相邻的问题，对于这类问题，我们就可以先将不相邻的元素进行排列，然后将其他元素插入空中，让问题变得更容易.

例如：一台晚会，原本有八个节目，但是在晚会开始之前，要临时在成绩单中加入两个节目，而且要保持原来的节目顺序不发生变化，请问有多少种排列方法.

解析：这是一道典型的运用插空法的排列组合问题，原有八个节目，那么就相当于有九个空，当插入一个节目后，就变成有十个空，第二个节目可以任意插在这十个空中，这样就很容易得出最后的答案了.

4.插板法.

在排列组合中经常会遇到一些指标的分配、求不定方程的整数解的个数的问题，在这类问题中我们可以运用插入隔板的方法进行解题.

例如：某学校要组建一支篮球队，需要选拔十二名队员，这个学校有八个班级，要求每个班级至少选出一人加入篮球队，那么请问有多少种选拔方法？

解析：这道题的实质就是将十二个名额分给八个班级，每个班级至少得到一个名额，那么十二个名额就相当于有十一个空，需要在这十一个空中插入七块木板，木板有多少种插法，名额就有多少种分配方法.

5.间接法.

在排列组合问题中经常见到“至多”“恰好”这一类的字眼，对于这样的问题，如果直接根据题意进行求解，比较复杂，那么就可以从相反的方面进行解题，然后再从总体中减去这一部分，就可以得出相应的结果.

例如：某村要从村里的十名大学生中选出三人担任村长助理，已知甲、乙至少有一人当选，而丙没有入选，那么请问有多少种不同的选法.

解析：由于题目中说明丙没有入选，那么这道题就可以转化成在九名大学生中选择三人，而甲乙至少有一人入选，如果直接计算，则要考虑的方面较多，那么我们就可以采用间接方法计算，先算出甲乙都没有入选有多少种选法，以及如果没有任何要求，有多少种选法，用后者减去前者，就是本题的答案.

三、结语

虽然排列组合问题是学生学习生活中的一个难点，但是只要教师在教学过程中能够善于总结解题方法，并让学生学会这些解题技巧，那么相信排列组合就会变得相对简单，不会让学生感到太复杂.