谈排列组合问题的解题方法

排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的，下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。

例1：5个男生、3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？

分析：此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制。女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。

解：因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有720种排法，其中女生内部也有6种排法，根据乘法原理，共有4320种不同的排法。

结论1捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例2：高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种？

分析：此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。

解：此题可以转化为将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有330种。

结论2转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解。

例3：袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？

分析：此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就会很容易解决问题。

解：把所有的硬币全部取出来，将得到0.05×23+0.10×10=2.15元，所以比2元多0.15元，所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有2种取法。

结论3剩余法：在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法，它们是一一对应的。因此，当求取法困难时，可转化为求剩法。

例4：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？

分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，它们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，它们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。并且也避免了问题的复杂性。

解：不加任何限制条件，整个排法有362880种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有181440种。

结论4 对等法：在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。

（作者单位：河南省林州市实验中学）