排列组合问题解法综述

排列组合问题是数学中比较抽象的问题，对学生的逻辑思维能力有较高要求。由于其解法往往是构造性的， 因此方法灵活多样， 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

一、基础知识复习

（1）两个原理的区别与联系

定义 做一件事，完成它可以有n类办法，

第一类办法中有m1种不同的方法，

第二类办法中有m2种不同的方法…，

第n类办法中有mn种不同的方法，

那么完成这件事共有

N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法

做一件事，完成它可以有n个步骤，

做第一步中有m1种不同的方法，

做第二步中有m2种不同的方法……，

做第n步中有mn种不同的方法，

那么完成这件事共有

定义 从n个不同元素中取出m个元

素，按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元

素，把它并成一组

种数 所有排列的的个数 所有排列的的个数

符号

二、解题方法和思路

（一）. 注意两个基本原理应用

加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。

例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？

解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有 种结果；1个人通过，有 种结果，……；n个人通过，有 种结果。所以一共有 种可能的结果。

解法2：用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过有两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

所以一共有 种可能的结果。

例2：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）

（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种

解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：

（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都唯一

（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有 种分配方式。

（二）. 特殊元素（位置）优先

例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？

解：个位选0，有 个，个位不选0且万位不能选0，有 个，所以一共可以得到 个偶数。

注意 0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。

例4：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？

解：先排甲，有 种排法。再排乙，有 种排法，再排其余的人，又有 种排法，所以一共有 种排法。

（三）. 捆绑法

例5：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？

解：把甲、乙、丙先排好，有 种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有 种排法，所以一共有 =1440种排法。

（四）. 插入法

例6：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

解：先排5个不是小品的节目，有 种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有 种排法，所以一共有 =7200种排法。

注：捆绑法与插入法一般适用于有如上述限制条件的排列问题。

（五）. 排除法

例7；求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

解：从8个点中取4个点，共有 种方法，其中取出的4个点共面的有 种，所以符合条件的四面体的个数为 个。

例8：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？

解：从100件产品中取5件产品，有 种取法，从不含次品的95件中取出5件产品有 种取法，所以符合题意的取法有 种。

例9：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？

解：无限制条件有 种排法。A与B或A与C在一起各有 种排法，A、B、C三人站在一起且A在中间有 种排法，所以一共有 + =21600种排法。

（六）. 机会均等法

例10：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？

解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为 。

例11：用1，4，5， 四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求 。

解：若 不为0，在每一个数位上1，4，5， ，出现的机会是均等的。由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到：

，解得 。

若 为0，无解。

排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案。在解决排列组合问题时，既要有战略又要有战术，两个原理是战略，排列组合是战术。战略上能总体驾御驾，战术上能积极突破。各种解题方法能灵活运用自如，计算不出任何差错。这才是学好数学的根本所在。