从一道典型的例题谈排列组合问题的解法

排队、排数、抽样和分组是排列组合题中最为典型的问题.下面仅以7人排队的典型问题为例，介绍求解排列组合问题的基本方法，希望能够对同学们学好这部分知识有所帮助.

题目:7位同学排成一列，按下列要求各有多少种不同的排法？

(1)甲必须在中间；

(2)首末不排甲；

(3)甲、乙、丙必须相邻；

(4)甲、乙、丙任何两人都不相邻且全不排首位；

(5)甲必须站在乙的右边（不一定相邻）；

(6)甲不站首位，乙不站末位；

(7)丁居中，甲、乙、丙排两边；

(8)分成左3右4两组，且甲在左组，乙在右组；

(9)恰有3人的编号与站位编号相同；

(10)从左到右分成A、B、C、D四组，要求每组至少有1人.

解析:(1)特元法：当某个（或几个）元素有特殊的限制，求解时须优先安排特殊元素的方法.

先排特殊元素P11，再排其余6个元素P66.故N=

P11•P66=720.

(2)特位法：当某个（或几个）元素位置有特殊的限制，求解时须优先安排特殊位置的方法.

先让除甲外的6人中选2人去占两特殊位置“首末”的种数P26，再排其余的位置 .故N=P26•P55=3600.

（3）捆绑法：当要求某些元素必须排在一起，求解时可先把这些元素捆绑成一个“合元素”，与其余元素进行排列，然后再进行“合元素”内排列的方法.

把甲、乙、丙3人看成一个“人”，先进行5个人的全排列P55，再进行由甲、乙、丙3人合并的“人”内部全排列P33.故N=P55•P33=720.

(4)插空法：当要求某些元素互不相邻，求解时可先把其余的元素排列，再把这些元素依空插入的方法.

先把除甲、乙、丙外的4人全排列P44，再从这4人之间和末端的共4个“空位”中选出3个“空位”排入甲、乙、丙3人P34.故N=

P44•P34=576.

(5)概率法：当元素的排列出现“等可能”现象，求解时可用全排列数乘以概率数得到结果.

因为“甲左乙右”与“甲右乙左”各占总排列数的一半.故有N=

12P77

=2520.

(6)二分法：当可由某元素“取与不取”、“含与不含”、“在与不在”等，把事件划分为两个互相对立的事件，求解时可以列出“二分表”进行求解的方法.

先以甲是否站首位划分事件，再在甲不站首位的情形下，以乙是否站末位划分的事件.

7人并排

（P77）甲站首位(P11P66)

甲不站首位

乙站末位（Ｐ15•P55)

乙不站末位

故N=

P77-P66-P15•P55=3720

.

(7)扣除法：当限制条件的反面很明确，求解时可先不考虑限制条件，求出方法总数，然后再扣除不合限制条件的种数.

先求“丁居中”但不考虑限制条件“甲、乙、丙”排两边的种数

P12•P66.再求“丁居中”且“甲、乙、丙排在一边”（限制条件的反面）的种数P33•P33•P22.故

故N=P11•P66-P33•P22=648.

(8)先组合排法：当牵涉到分组和排列的综合，求解时通常采用先组合后排列分步解决的方法.

先在除甲、乙外的5人中取2人与甲在左组全排C25P33，再把余下的4人在右组全排P44.

故N=C25P33•P44=1440.

(9)穷举法：第一步求出与“编号”与“站位编号”相同的三人种数为C37；第二步求余下“编号”与“站位编号”不相同的四人的种数（9种），不妨假设余下的四人编号分别为3、4、5、6，其排法列表穷举如表１.

(10)变换命题法：当直接切题较繁或较难，求解时可对原问题作一等价转化后求解的方法.

按照题意，每组人数有三种类型：即一一一四型、一一二三型、一二二二型，先把7人全排列P77，下面把本问较难操作的分组问题等价转化为较易操作的分隔问题，把全排列后的7人看成一字摆开的7个完全相同的小球，用3块木板放在由他们形成的6个空档间，分隔成4组，显然每组的人数都有1、2、3、4四种可能，所以不同的分组种数就是3块小木板的不同放法种数C36.故N=P77•C36=100800.

请同学们注意的是，上述诸多方法之间并不是相互独立的，而是相互联系、相互渗透的.因此我们在解题时要针对具体题目的特征，以简单方便为原则灵活地运用这些解题方法.

安徽省灵璧县黄湾中学（234213）