例析排列组合问题的几种解法

摘 要：排列组合是组合学最基本的概念，由于涉及知识面广，条件复杂多样，解题技巧高，解法灵活多变，故困惑着许多学生[1]。 排列组合问题联系实际，应用广泛，题型多变， 思维抽象，不易理解。近年来，排列组合问题已逐渐成为高考的热点，于是排列组合问题的解题技巧就成了研究者们主要讨论的问题。本文举例分析排列组合问题的几种解法。

关键词：分析 排列组合 解法

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切[2]。

排列组合问题由于涉及知识面广，条件复杂多样，解题技巧高，解法灵活多变，故困惑着许多学生。这类问题的解决需首先弄清是排列还是组合问题，然后抓住问题本质，选择正确的解题途径。笔者根据自己的体会，结合高考、会考及模拟试题，将这类问题的求解途径例释如下，仅供参考[3]。

一、 特殊元素优先安排

例1：6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五或第六道，则不同排法种数共有（ ）。

A.144 B.96 C.72 D.48

分析：由于甲、乙站道有条件要求，故可把甲、乙考虑为特殊元素，首先安排这两个特殊元素：①乙不同站道方式为C21；②甲不同站道方式为C31。

故满足要求的不同站道方式为C21×C31×P44=144，故选A。

二、数字较小问题，列举法处理

例2：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）。

A.15种 B.11种 C.9种 D.6种

分析：本题数字较小，可采用列举的方法。为了叙述方便，甲、乙、丙、丁写的贺卡分别为1、2、3、4号卡。甲②表示甲拿得2号卡，这样易列举出甲②的分配方式为：

共3种，甲③、甲④与甲②情况相同，故满足条件的方法为9种。故选C。

三、 混合问题先选后排

例3：某外商计划在4个候选城市投资4个不同的项目，且恰有一个城市没有投资项目，则该外商不同的投资方案有（ ）种。

分析：恰有一个城市没有投资项目，首先选择没有投资项目城市C41种，在余下城市投资4个不同项目，其中一个城市投资两个项目，两个城市各一个项目，将这两个项目打成一个“大包”，另2个项目各打一小包，即将4个项目分成3组，大组2个项目，小组1个项目，有C42种分法，将3组分到3个城市有P33种分法，故不同投资方法有C41×C42×P33=144种。

四、相邻元素“捆绑”处理

例4：6个同学坐成一排，其中甲乙必须坐在一起的不同坐法是（ ）。

A.720种 B.360种 C.240种 D.120种

把甲乙“捆绑”在一起看作一个元素，与其他4名同学进行全排列有P55种不同排法，甲乙有 P22种排法，故满足条件的坐法为P55×P22=240种。 故选C。

五、不相邻问题选空插入

例5：现在A、B、C、D、E、F、G、H 8位同学站成一排照相，要求 A、B同学相邻， C、D相邻， G、H不相邻，这样的排队照相方式有（ ）。

A.36种 B.98种 C.112种 D.1920种

分析：把A、B和C、D各看成一个元素，与E、F进行全排列，其排列数P44，A、B和C、D分别全排列，其排列数为P22×P22，将G、H插入4个元素中间空挡或两端，其排列数P52，故共有排法为P44×P22×P22×P52=1920，故选D。

六、相同元素分配，挡板分隔处理

例6：从6个班中选12名同学参加市青少年夏令营，每班至少一人，有几种选法？

分析：本题只与人数有关，与顺序无关，可把12人排成一列，再在11个空隙中选5个位子，插入五块“隔板”分成6段，故本题答案 C115种方法。

七、两类元素排列，组合选位处理

例7：（01郑州模拟）10级楼梯要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？

分析：由题意知有4步单级，3步双级，因此由两类不同的排列，只要在7步中任意选3步双级C73即可。

八、不同种元素分配，先分堆后再排列

例8：将5个新生分配到3个班中，每班至少一人，有几种不同的分法？

分析：先将5个学生分成三堆有两类，1、1、3分堆有C53种，1、1、2分堆有 种，再排列到3个班里有A33种，因此共有 种。

九、正确分类，准确分步

例9：今有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有______种不同的方法（用数字作答）。

分析：第一步从9个不同的位置中选2个放上两个相同的红球，共有C92种放法；第二步从余下的7个不同位置中选3个，放上3个相同的黄球，共有C73种放法；第三步，在剩余4个位置放上4个相同的白球，共有C44种放法。由分步计数原理得：C92×C73×C44=1260。

十、分排问题，直排处理

例10：两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，若8名学生坐（每人一个座位），则不同的坐法种数是（ ）。

A.C85C83 B.C21C85C83 C.A85P83 D.P88

分析：8名同学前后8个座位随意无任何约束条件坐，故等价于将8个座位排成一排让8个人去坐，故坐法种数为P88，故选D。

参考文献

[1]许娟.高中排列组合的教学研究与实践[D].西北师范大学，2006年.

[2]陈肇杰.浅谈排列与组合的教学[J].广东职业技术师范学院学报，

[3]叶立军.关于数学教学模式改革的几点思考[J].中学数学教学参考，2004年07期.2001年S1期.