浅谈排列组合问题的几种主要解法

摘要：排列组合由于内容独特，题目灵活多变，其解题方法也多种多样，学生在解题过程中极易出现“重复”或“遗漏”的错误，又无法对问题的结果进行检验，所以它是中学数学教学的一个难点。排列组合也是学习概率与统计知识以及进一步学习高等数学有关知识的准备知识。解决问题的关键在于对概念的深刻理解，正确区分分类和分步两个计数原理的差异，对每个过程作认真、全面的分析，做到不“重”、不“漏”。笔者在多年的教学中总结出了排列组合问题的常见类型及其应对方法。

关键词：排列组合；分类计数原理；分步计数原理

排列与组合是初等代数中比较独特的内容，也是中学数学教学的一个难点，它所研究的对象以及研究问题的方法都与学生已掌握的数学知识有较大的不同。这部分内容虽少，与旧知识的联系也不多，但是由于题目灵活多样，其解题方法也多种多样，有利于对学生进行逻辑思维能力的训练。解决排列组合的应用题主要依据的是计数的两个基本原理：分类计数原理和分步计数原理。

一、运用两个基本原理

加法原理和乘法原理的区别就在于是否与顺序有关，这两种原理是解排列组合应用题的最基本的方法。在解给定的具体问题时，弄清分类计数原理和分步计数原理的根本区别，确定是分类问题还是分步问题非常关键，要做到准确无误，需要对两个原理有全面而深刻的认识。

例1?n个人参加某项考试，能否通过，有多少种不同的可能结果？

解法1：用分类计数的原理即加法原理。没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有C1种结果；……；n个人通过，有Cn种结果。所以，一共有C0+C1+…+Cn=2n种可能的结果。

解法2：用分步计数原理即乘法原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样，所以一共有2×2×2×…×2=2n种可能的结果。

小结：①“做一件事，完成它有几类方法”，这是对能够完成这件事所有方法的分类。分类时要满足如下要求：完成这件事的任何一种方法必须包含于某一类之中，且仅包含于该类之中。②“做一件事，完成它需要分成几个步骤”，这是指完成这件事的任何一种方法都要分成几个步骤。分步时要满足如下要求：完成这件事必须且只需连续完成这几个步骤。

二、“相邻”用捆绑，“不邻”就插空

例2?7个人按照下面的不同要求站成一排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲、乙相邻；

（2）甲、乙之间间隔两人。

分析：（1）可以将要求相邻的甲、乙看成一个整体进行排列，即进行“捆绑”。但是要注意，甲、乙这时应该看作一个人，这样，本小题就可以看成是让6个人站成一排，问有多少种不同的站法。

（2）跟上面小题刚好相反，要求甲、乙不能相邻并且中间间隔两人。这样，我们可以先算出在甲、乙中间插入两人有多少种不同的站法，然后把这四个人看成一个人，再与剩下的3人进行排列。

解：（1）A2 A6=2×1×6×5×4×3×2×1 =1440

（2） A2 A2 A4 =2×1×5×4×4×3×2×1 =960

小结：如果以“相邻”为条件的，应将相邻的元素看成一个整体即一个元素，故称之为“捆绑法”；如果以某些元素“不能相邻”为条件的，则可采用“插空法”。

三、特殊元素（或位置）优先安排

例3?用数字0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这是一个从6个不同元素中取出4个的排列问题。偶数则要求个位数字必须是0、2、4。所以，0、2、4是特殊元素，0更为特殊，而数字的首位和末位则是特殊的位置。我们可以先安排特殊元素0，如果个位选0，剩下的任何数字都可以在任何位置上，所以有A3个；如果个位不选0，则首位也不能选0，这样，先确定个位，从2、4中选出1个（C1），再确定首位，在已确定的个位和0以外的4个数字中任选1个（C1），最后，确定中间的两个数字，即A2，注意在确定中间的两个数字时0不能排除。其实，在这道题中，我们同时运用了前面所说的两个最基本的计数原理。

解：个位选0，有A3个；个位不选0，且首位也不能选0，有C1C1A2个，所以，一共有A3+C1C1A2=108个不同的四位偶数。

小结：这是一个有附加条件的排列问题。在实际问题中，有附加条件的问题大量存在。解决这类问题时应该注意，所谓附加条件就是限制条件，实际上是指某些元素或某些位置具有特殊性。这些特殊性有时是人为规定的，如某人在排队时只能站在队伍的中间；有些是事件本身固有的属性，如本例题中的0不能排在首位。解决这类问题一般是从特殊元素或特殊位置的角度来考虑。经常使用的方法有以下两种：直接计算法和间接计算法。

四、分类讨论

例4?由数字1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的自然数？

分析：可以分成一位数~四位数共四种情况。

解：一共可以得到A1+A2+A3+A4=4+

12+24+24=64个不同的自然数。

例5?在2000到7000之间有多少个没有重复数字的奇数？

分析：这道题隐含了两个条件：千位数字必须为2到6之间同时个位必须是1、3、5、7、9。可以把这道题分成两类：①个位是3或5，则千位只能在选剩的1个数字以及2、4、6中任选一个；②个数是1、7、9中某个数字，则千位可以在2到6这五个数字中任选一个。

解：当个位是3或5时，有A1A1A2个；当个位是1或7或9时，有A1A1A2个。

所以，一共可以有A1A1A2+A1A A2=2×4×8×7+3×5×8×7=448+840=个不同的奇数。

小结：在排列组合问题中，利用分类讨论来解决问题最为常见。如何分类、分为几类则是解题的关键。在做题时需认真分析解题思路，有时也可以改变思路，通过一题多解来核对答案，同时也开拓了学生的思路。

五、混合问题：先“组”后“排”

例6?从7名男生和5名女生中选出5人排成一队，其中男生3名，女生2名，共有多少种不同的排法？

分析：先各选出3名男生和2名女生，再进行排队。

第一步，从7名男生中选出3名记为A、B、C，可见，选出A、B、C与B、C、A进行排队是相同的选法，与次序无关，所以是从7名男生选出3名的组合，即C3。同理，从5名女生中选出2名的组合为C2。

第二步，对选出的5人进行排队，这就跟顺序有关了，是排列，即A5。

最后，完成了这两步才能形成一个队伍，所以要用乘法原理。

解：一共有C3 C2 A5=35×10×120=

42000种不同的排法。

小结：本题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。

六、排除法

例7?某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举3人当代表，要求至少有一名女生当选，有多少种不同的选法？

分析：符合条件的小组有下列三种情形：2名男生1名女生，1名男生2名女生，3名都是女生

按分步计数原理，分别有C2·C1，C1·C2，C3（种）

再根据分类计数原理，所以一共有C2·C1+C1·C2+C3=85（种）

其实，这道题从另外的角度，我们也可以这样思考：要求至少有一名女生当选，也就是说，选出来的3名代表不能全是男生，只要我们把这种情形去掉，那么其余的就都符合条件了。所以另解：选3人当代表，这3人之间没有次序之分，显然是个组合问题。从10人中任取3人的组合数C3中减去3人全是男生的组合数C3，即得所求

C3-C3=85（种）

这种解题的方法就称为排除法。

小结：排除法也称作间接法或排异法，有时用这种方法解决问题比较简单、明快。解题的思路就是先考虑总的情况有多少种，再减去不符合条件的情况。

七、分类组合、隔板处理

例8?从7个学校中选出15名学生参加数学竞赛，每校至少有1人，有几种选法？

分析：因为15个名额没有差别，把他们排成一排。相邻名额之间形成14个间隙。在这14个间隙中选出6个位置分别插入隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个学校，并且每一种插板方法对应一种选法，共有C6种选法。

解：采用隔板法，得

C6=—=3003种不同的选法。

小结：把n个相同元素分成m份，每份至少1个元素，问有多少种不同分法的问题，一般可以采用“隔板法”，得出Cm-1种。

八、转化法

例9?10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有多少种不同的跨法？

分析：10级楼梯，要求7步跨完，并且每步只能跨1级或2级。显然，必须有3步中每步跨2级，其余的4步中每步跨1级。

解：10级楼梯，要求7步跨完，并且每步最多跨2级。所以，必须有3步中每步跨2级，其余的4步中每步跨1级。则原问题相当于在7个格子中选3个填写A，其余的填写B，这是一个组合问题，所以一共有

C3=—=35种不同的跨法。

小结：在处理比较复杂的排列组合问题时，可以将复杂的问题转化成为相对简单的问题，从而解决原来的问题。

在解决排列、组合的应用题时，要使学生注意以下几点：①分清所给问题是排列问题，还是组合问题（与顺序是否有关）或是排列、组合的综合问题；②有何附加条件。特别要认真审题，搞清楚问题有哪些特点。分析问题时一定要全面考察，处理有附加条件的问题必须做到“不漏不重”。

以上所列举的方法，是笔者在多年的教学经验中归纳出来的排列组合问题中常用的一些方法，让大家一起来探讨研究。排列与组合的实际问题，对问题的分析不同，解法也会有不同。教师在教学中应启发学生从多方面去分析问题，找出不同的解法，以提高学生的分析能力。

（作者单位：广东省潮州市职业技术学校）