排列组合应用问题的解法

摘 要：排列组合问题一直是高考数学的热点内容，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径，平时多总结和归纳解题方法对能否迅速解决排列组合问题非常重要

关键词：排列组合；解题；方法

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-02-0176-01

排列组合问题一直是高考数学的热点内容之一，从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现。对于它的考查往往联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用问题的解题策略常见的七种方法，仅供参考。

一、相邻问题捆绑法

对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”。就是把题目中规定相邻的几个元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。（即注意“松绑”）

例1.有3名男生、4名女生排成一排，女生必须站在一起的排发有（ ）

A、720种 B、576种 C、240种 D、120种

解析：将女生看成一个整体，与3名男生在一起全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44=576（种）

二、不相邻问题插空法

元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.有3名男生、4名女生排成一排，则男生互不相邻的排法有（ ）

（A）1800 （B）3600 （C）2400 （D）1440

解析：男生互不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种排法，故共有A44×A53=1440（种）

三、标号排位问题分步法

把元素排到指定位置上，可先把某个（某些）元素按规定排入，第二步再排另一个（一些）元素，如此继续下去，依次即可完成.

例3.乒乓球队的10名队员有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 .（用数字作答）

解析：3名主力队员要安排在第一、三、五位置有A33种方法，从其余7名队员选2名安排在第二、四位置有A72种，共A33A72=252有种，故填252

四、全员分配问题分组法

分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

例4.将高三级4名学生分配到3个班，每班至少1名，则不同的分配方案共有（ ）

A.12种 B.24种 C.36种 D.48种

解析：把四名学生分成3组只有一种分法（即2、1、1型）有=C42（因为局部涉及到平均分成两组问题，所以必须除以A22）种方法，再把三组学生分配到三个班级有A33种，故共有C42A33=36种方法. 故选C

五、名额分配问题隔板法

对于相同元素的分组这类典型问题，可用“隔板”法求解。

例5.某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有

种.（用数字作答）

解析：将9个名额视为9个相同的小球排成一排为：OOOOOOOOO，然后在9个小球的8个空位中插入5块木板，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为C85=56种.故应填56

六、多元问题分类法

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例6.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）

A.42 B.30 C.20 D.12

解析：对新增的2个节目分类：①不相邻：有A62种，②相邻：有A22A61种，故不同插法的种数为A62+A22A61=42种。故选A

七、定位问题优先法

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例7.安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）

解析：甲、乙二人安排在5月3日至5月7日值班有A52种，其余5人安排有A55种方法；所以共有A52A55=2400种。.故应填2400

排列组合问题是高考的必考题型，也是后面概率的铺垫，它多联系实际或其它学科，且一般都附有某些限制条件，题型多为选择题或填空题，有时也与概率结合一起考查。虽然所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性，机敏性和综合性，是高考的热点，所以平时多总结和归纳解题方法对能否迅速解决排列组合问题非常重要。