排列组合中的易错问题

【摘要】排列组合问题通常涉及多种情况，需要进行分类讨论，解题过程中若分类或分步不正确，容易重复或者遗漏，从而导致出错；特殊元素特殊位置比较多时，考虑不全面也易导致计算不正确；本文结合例题，分析了排列组合问题的易错点.

【关键词】排列组合；特殊元素；重复；遗漏

例1 三部车床加工四个不同的零件，不同的加工方法有种.

错解 每一部车床都可加工四种零件，所以一共有 43=64 种加工方法.

错解分析 混淆了“元素”与“位置”的主次关系，分步不正确，应视零件为“元素”，车床视为“位置”.

正确解答 第一个零件有3种加工方法，第二个零件有3种加工方法，第三个零件有3种加工方法，同样第四个零件也有3种加工方法，则一共有34=81种加工方法.

例2 5名同学站成一排，其中女生3名，男生2名，要求男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位相邻，则不同的站法共有种.

A.60B.48C.42D.36

错解1 （1）第一类女生在两端，先用捆绑法选两名女生排列，再与第三名女生排列，最后两位男生在中间排列：A23A22A22=24；（2）第二类男生乙在两端，再选中间两个位置给女生，剩下的一个中间位置排甲，另一个位置排第三名女生，共C12C23A22=12种排法；两类情况相加得总排法数为36种，答案为D.

错解分析1 特殊元素特殊位置多引起混乱，第二类中忽略了3个女生之间可排列的情况.

错解2 为保证女生分开（1）第一类先将甲排在中间，乙也在中间，剩余三位女生排列：C23C12A33=36.（2）第二类将甲排在五个位置中的正中间，乙和三位女生排列在两边位置：A44=24；两类结合共有36+24=60种排法，答案为A.

错解分析2 第二类A44=24包含了甲乙均在中间的情况，和第一类有重复.

正确解答 （1）第一步先排女生，将其中两名女生用捆绑法组合排列后视为一个元素，再与另外一名女生排列：C23A22A22=12；（2）第二步，将两名男生插入已排好的女生中，分两类情况，甲乙均在中间，甲在中间乙在两边，则一共有 A22+C12=4 种排法； 综合两步，总共有12×4=48种排法，正确答案为B.

例3 某交通岗位共有职工3人，从周一到周日7天中，每天安排一人值班，每人每周至少值班2天，则不同的值班排法有种.

A.5040B.1260C.920D.630

错解 第一人挑2天，第二人挑2天，剩余3天由第三人值班，共有C27C25C33A33=1260种排班方法.

错解分析 平均分组后再进行排列导致重复.

正确解答 选一人值班3天，剩余2人各值班2天，一共有C13C37C24=630种值班排法.

例4 班级晚会上一共有六个节目，其中节目甲和乙不相邻，节目丙和乙相邻，则一共有种排法.

错解 （1）第一步，先将节目甲和其余三个节目排列好，共有A44=24种排法；（2）第二步，再排节目乙，与甲不相邻，利用插空法有C13=3种排法；（3）第三步，节目丙要与甲相邻，只能在其前面或者后面，排法为C12种；则一共有24×3×2=144种排法.

错解分析 由于特殊位置较多，遗漏了节目丙在甲和乙之间的一类排法.

正确解答 （1）把错解中的情况作为第一类，有144种排法；（2）第二类，先将节目甲和其余三个节目排列好，共有A44=24种，再将丙排在甲和乙之间，有C12=2种排法，共有24×2=28种排法；两类综合，总共的排法为144+48=192.

例5 已知集合A={1，2，3，4}，B={a，b，c}，f是A到B的映射，若B中每个元素都有原像，则这样的映射有个.

A.24B.36 C.72D.81

错解 （1）第一步从集合A中选两个元素对应集合B中的一个元素，一共有C24C13=18种排法；（2）第二步再从集合A中选择一个元素，从集合B中选择一个元素相对应，有C12C12=4种排法； 两步综合排法为18×4=72种.

错解分析 第二步中将集合A中剩余两个元素与B中剩余两个元素构成映射时两次组合导致重复.

正确解答 第一步同错解，第二步两集合中剩余元素可构成的集合种类为A22=2种，所以一共能构成18×2=36个映射，正确答案为B.

结束语

总之，学生在解答排列组合问题时要做到分步有序，分类不重不漏，合理处理特殊元素，才能提高解题能力，降低出错几率.

【参考文献】

[1]季志焯.数学思维技术[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版，2013.

[2]赵建勋.排列与组合中的遗漏和重复问题[J].中学生数学（上半月），2015（5）：12.

[3]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社，1991.