函数对称性梳理

函数的对称性是函数的一个重要性质，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用对称性能更简捷地解决问题。函数的对称包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性。下面具体分析各个方面：

一、函数自身的对称

定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a ,b)对称的充要条件是：f(x)+f(2a－x)=2b

推论：函数y= f(x)的图像关于原点的对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0

定理2. 函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)

推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称（实际是偶函数）的充要条件是f(x)=f(－x)

定理3. ①若函数y=f(x) 图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

②若函数y=f(x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称 （a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性

定理4. 函数y=f(x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x= a成轴对称。

②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x－a=f(y + a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y 成轴对称（实际是函数与反函数的问题）。

三、 函数对称性应用举例

例1 定义在R上的非常数函数满足：f(x+10)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定是（）

A. 是偶函数，也是周期函数

B. 是偶函数，但不是周期函数

C. 是奇函数，也是周期函数

D. 是奇函数，但不是周期函数例

解：因为f(x+10)为偶函数，所以f(10+x)=f(10-x)。所以f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选（A）。

2：设定义域为R的函数y= f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。

解：y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，

y=g-1(x－2) 反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x), f(x－1) =2+g(x), 有f(5－1)=2+g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f(x)=－x，则f(8.6 )= _________ （第八届希望杯高二 第一试题）

解：f(x)是定义在R上的偶函数x=0是y=f(x)对称轴；

又f(1+x)= f(1－x) x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6 ) =0.3

例4.函数 y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理)

(A) x=－ (B) x=－ (C)x=(D)x=

解：函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+= kπ+

x =－π,显然取k=1时的对称轴方程是x=－故选(A)

例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x，则f (7.5)= （）

(A) 0.5 (B)－0.5 (C) 1.5 (D)－1.5

解：y=f(x)是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；

又f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)， 直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。

f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5) =－0.5 故选(B)