高考反函数考题分类评析

反函数是高考热点问题之一，在历年各个省市的高考试题中，考查反函数的试题屡见不鲜.下面就２００７年部分省市的高考反函数考题选几例分析解答，以扩大读者的视野.

一、 直接考查反函数的定义

例１（２００７年湖北卷理科试题）已知函数ｙ＝２ｘ－ａ的反函数是ｙ＝ｂｘ＋３，则ａ＝， ｂ＝.

解由于ｙ＝２ｘ－ａ的反函数为ｙ＝，所以ａ＝６，ｂ＝.

评析反函数对原函数有依存性，反函数是相对于原函数而言，反函数不能脱离原函数独立存在，即反函数是由原函数所惟一确定的.

二、 考查反函数的图象

例２（２００７年陕西卷理科试题）若函数ｆ（ｘ）的反函数为ｙ＝ｆ-1（ｘ），则函数ｆ（ｘ－１）与ｆ-1（ｘ－１）的图象可能是（）

解由题意，原函数图象与其反函数图象关于直线ｙ＝ｘ－１对称，故选Ｄ.

评析由于近年来高考试题加强了对数形结合思想的考查，最明显的是高考试卷中函数图象考题明显增多. 同学们要掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质，在此基础上，理解掌握常见的图象平移、伸缩变换，原函数与其反函数关于直线ｙ＝ｘ对称以及原函数与其反函数点的关系.

三、 侧重考查反函数的定义域

例３（２００７年江西卷理科试题）设函数ｙ＝４＋ｌｏｇ（ｘ－１）（ｘ≥３），则其反函数的定义域为

解当ｘ≥３时，ｘ－１≥２，ｌｏｇ（ｘ－１）≥１，所以函数的值域为ｙ≥５，因此其反函数的定义域［５，＋∞）.

评析由于原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域，故反函数的定义域不能仅由其解析式来求，而应该是原函数的值域，有时仅通过求其原函数的值域即可.

四、 考查原函数与反函数的关系

例４（２００７年江西卷文科试题）已知函数ｙ＝ ｆ（ｘ）存在反函数ｙ＝ ｆ-1（ｘ），若函数ｙ＝ ｆ（１＋ｘ）的图象经过点（３，１），则函数ｙ＝ ｆ-1（ｘ）的图象必经过点.

解由题意知，原函数ｙ＝ｆ（ｘ）过点（４，１），根据原函数与其反函数的关系，得函数ｙ＝ｆ-1（ｘ）的图象必经过点（１，４）.

评析利用原函数与其反函数的关系解题，可以避开求反函数的麻烦，提高解题效率.（编辑孙世奇）

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