浅谈圆锥曲线中的类比教学

摘 要：新课标新加入推理与证明的知识，有利于教师引导学生进行大胆的猜想和推理，由简到难，由已知到未知，开阔学生的知识面，培养学生探索问题、研究问题、解决问题的能力。

关键词：圆锥曲线；类比推理；切线

类比推理是合情推理的一种，开普勒说：“我赞成类比胜过其他的一切，它是我最可信赖的，它知道自然的一切奥秘，并且在几何中它经常是有效的。”可见类比让我们能知道更多。笔者仅对圆锥曲线教学中遇到的一个知识点粗浅地做一个总结：

引理1：P（x0，y0）与圆x2＋y2＝r2（r＞0）的位置关系：

（1）若x20＋y20＞r2，则点P在圆外；

（2）若x20＋y20=r2，则点P在圆上；

（3）若x20＋y20＜r2，则点P在圆内．

引理2：圆x2＋y2＝r2（r＞0）与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是：

r2（A2+B2）≥C2

引理3：已知圆O（O为坐标原点）：x2＋y2＝r2（r＞0），设点P（x0，y0）及直线l：x0x+y0y=r2

（1）若（x0，y0）在圆内，则l表示与OP垂直且与圆O相离的直线；

（2）若P（x0，y0）在圆上，则l表示过点P且与圆O相切的直线；

（3）若（x0，y0）在圆外，则l表示与圆相交的直线即表示过点P的圆的两条切线的切点弦所在直线。

证明：由点到直线的距离公式及引理2易证（1）（2）下证（3）：

设经过P的圆的两条切线，如图所示切点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）则依引理3的（2）知两条切线方程分别是：

■

x1x+y1y=r2

x2x+y2y=r2

又两条切线都经过P（x0，y0）故有：

x1x0+y1y0=r2

x2x0+y2y0=r2

所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）是方程x0x+y0y=r2的解，即P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线l上。结论（3）成立。

将上述与圆相关的引理类比到椭圆中有：

设椭圆方程为：■+■=1（a＞b＞0），点P（x0，y0）及直线l∶■+■=1

结论一：

椭圆■+■=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2+B2b2≥C2.

结论二：

（1）若P（x0，y0）在圆内，则l表示与椭圆相离且平行于以P为中点的弦的直线；

（2）若P（x0，y0）在圆上，则l表示过P的椭圆的切线；

（3）若P（x0，y0）在圆外，则l表示过P作椭圆的两条切线的切点弦所在直线；

下面先给出结论一的证明：

证法一：（判别式法）略

证法二：做伸缩变换，设x’=■xy’=■y将椭圆变换为单位圆：x’2+y’2=1，相应的直线Ax+By+C=0，变换为aAx’+bBy’+C=0，此时再运用引理2可知结论一成立。

结论二的证明：类比圆中的引理的证明，结合伸缩变换易证结论二成立。

同样我们类比椭圆结论得到双曲线■-■=1（a＞0，b＞0）的性质：

（1）双曲线■-■=1（a＞0，b＞0）与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.

（2）若P（x0，y0）在双曲线■-■=1（a＞0，b＞0）上，则过P的双曲线的切线方程是■-■=1；

若P（x0，y0）在双曲线■-■=1（a＞0，b＞0）外，则过P作双曲线的两条切线切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是■-■=1.

（作者单位 内蒙古自治区包头市一机一中）