三角函数与应用

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三角函数应用题既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变形的技能，因而备受命题者的青睐，常常以解答题的形式出现，难度中等.

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解三角函数应用问题有下列几个基本步骤：第一步，阅读理解，审清题意；第二步，搜集、整理数据，通常是引入角作为参变量，建立数学模型；第三步，利用所学三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，求出结果；第四步，将所得结论转译成实际问题的答案.

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■ 如图1，某市拟在长为8千米的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈[0，4]）的图象，且图象的最高点为S（3，2■）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°.

（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；

（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

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图1

破解思路 （1）由图即可得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出MP.（2）思路一：利用三角形的正弦定理求出NP， MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值；思路二：利用余弦定理求出MN，NP的数量关系式，然后运用基本不等式求出最大值.

经典答案 （1）依题意，有A=2■，■=3，又T=■，所以ω=■. 所以y=2■sin■x，当x=4时，y=2■sin■=3，所以M（4，3）. 又因为P（8，0），所以MP=■=5.

（2）法1：由已知，在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=θ，则0°

法2：由已知，在MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MN2+NP2-2MN・NPcos∠MNP=MP2，即MN2+NP2+MN・NP=25，故（MN+NP）2-25=MN・NP≤■■，从而■（MN+NP）2≤25，即MN+NP≤■，当且仅当MN=NP时，折线段赛道MNP最长.

■ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图2所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）该小组已经测得一组α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度. 若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α-β最大.

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图2

破解思路 解决本题的关键是寻找等量关系. 第（1）问是利用直角三角形的三角函数及线段关系AD-BD=AB，转化为已知角和h，H的等式，然后求解. 第（2）问关键是利用两角差的正切公式建立tan（α-β）关于d的函数模型，再利用平均值定理及正切函数的单调性求最值，最后得出d的值.

经典答案 （1）■=tanβ？圯AD=■，同理：AB=■，BD=■. 由AD-AB=DB得■-■=■，解得H=■=■=124. 因此，算出的电视塔的高度H是124 m.

（2）由题设可知d=AB，得tanα=■，tanβ=■=■=■，所以tan（α-β）=■=■=■=■. 又d+■≥2■（当且仅当d=■=■=55■时，取等号），故当d=55■时，tan（α-β）最大. 因为0

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如图3，开发商欲对边长为1 km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E，F分别在BC，CD上），根据规划要求ECF的周长为2 km.

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图3

（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；

（2）欲使AEF的面积最小，试确定点E，F的位置.？摇